[論文レビュー] Galois Theory for Braided Tensor Categories and the Modular Closure

Michael Mueger|ArXiv.org|Dec 7, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、双対を備え、単位が非可約なブレード付きテンソル*-圏に対して、ガロア理論の枠組みを構築し、対称的副圏 S によって拡張される交叉積構成 C ⋊ S を導入する。主な結果は、有理的ブレード付き圏 C のモジュラー閉包—D が退化した対象の副圏であるとき、C ⋊ D として定義される—がモジュラー圏をなすこと、SL(2,Z) のユニタリ表現を生じること、およびガロア群の閉部分群と中間圏との間にガロア対応が成立することを示している。

ABSTRACT

Given a braided tensor *-category C with conjugate (dual) objects and irreducible unit together with a full symmetric subcategory S we define a crossed product C times S. This construction yields a tensor *-category with conjugates and an irreducible unit. (A *-category is a category enriched over Vect_C with positive *-operation.) A Galois correspondence is established between intermediate categories sitting between C and C times S and closed subgroups of the Galois group Gal(C times S/C)=Aut_C(C times S) of C, the latter being isomorphic to the compact group associated to S by the duality theorem of Doplicher and Roberts. Denoting by D\subset C the full subcategory of degenerate objects, i.e. objects which have trivial monodromy with all objects of C, the braiding of C extends to a braiding of C times S iff S\subset D. Under this condition C times S has no degenerate objects iff S=D. If the original category C is rational (i.e. has only finitely many equivalence classes of irreducible objects) then the same holds for the new one. The category C times D is called the modular closure of C since in the rational case it is modular, i.e. gives rise to a unitary representation of the modular group SL(2,Z). (In passing we prove that every braided tensor *-category with conjugates automatically is a ribbon category, i.e. has a twist.) If all simple objects of S have dimension one the structure of the category C times S can be clarified quite explicitly in terms of group cohomology.

研究の動機と目的

• ブレード付きテンソル*-圏に双対と非可約単位を備えた状況において、体からのガロア理論を一般化すること。
• 群作用のテンソル圏における一般化である、交叉積構成 C ⋊ S を定義すること。
• 中間圏 K とガロア群 Aut_C(C ⋊ S) の閉部分群との間のガロア対応を確立すること。
• ブレード構造が交叉積に拡張される条件を特定し、それが S ⊆ D（退化した対象の副圏）であることと同値であることを示すこと。
• 有理的ブレード付き圏のモジュラー閉包を C ⋊ D として定義し、それがモジュラーであることを証明すること。

提案手法

• ブレード付きテンソル*-圏 C と全的対称副圏 S に対して、交叉積圏 C ⋊ S を定義する。
• ドフィリッシャー＝ロバーツの双対性定理を用いて、ガロア群 Gal(C ⋊ S / C) を S に関連するコンパクト群と同一視する。
• 中間圏 C ⊆ K ⊆ C ⋊ S とガロア群の閉部分群との間のガロア対応を確立する。
• すべての対象と自明なモノドロミーを持つ対象として、退化した対象を特定し、その副圏を D と表記する。
• C のブレード構造が C ⋊ S に拡張可能であることと、S ⊆ D が成り立つことは同値であることを証明する。
• C ⋊ D に退化した対象が存在しないことと、S = D が同値であること、および C が有理的であるとき C ⋊ D がモジュラーであることの証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブレード付きテンソル*-圏に双対を備え、単位が非可約である場合に、ガロア理論をどのように一般化できるか。
• RQ2 ブレード付き圏のブレード構造が、C ⋊ S という交叉積圏に拡張可能となる条件は何か。
• RQ3 ガロア群 Gal(C ⋊ S / C) の構造は何か。また、これは圏 S とどのように関係しているか。
• RQ4 特に有理的の場合に、交叉積 C ⋊ S がいつモジュラーになるか。
• RQ5 退化した対象の副圏 D が、モジュラー閉包を構成する上で果たす役割は何か。

主な発見

• C がこれらの性質を備え、S が全的対称副圏である限り、C ⋊ S はテンソル*-圏として、共役と非可約単位を備える。
• 中間圏 K について C ⊆ K ⊆ C ⋊ S とガロア群 Gal(C ⋊ S / C) の閉部分群との間にガロア対応が成立する。このガロア群は、ドフィリッシャー＝ロバーツ双対性により、S に関連するコンパクト群と同型である。
• C のブレード構造が C ⋊ S に拡張可能であることと、S ⊆ D が成り立つことは同値である。ここで D は、C のすべての対象と自明なモノドロミーを持つ対象の全副圏である。
• C ⋊ D に退化した対象が存在しないことと、S = D が同値であり、このとき C が有理的であれば C ⋊ D はモジュラーである。
• C が有理的であるとき、モジュラー閉包 C ⋊ D はモジュラーであり、SL(2,Z) のユニタリ表現を生じる。
• 双対を備える任意のブレード付きテンソル*-圏は、自動的にリボン圏である。すなわち、恒等対象の自己同型を伴う剛体構造（ねじれ）を有する。