[論文レビュー] Galois theory for Hopf algebroids

Gabriella Böhm|ArXiv.org|Sep 27, 2004

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ホップ代数の古典的ガロア対応をホップアレブロイドの設定に一般化することで、ホップアレブロイドに対するガロア理論を確立する。有限生成的射影的ホップアレブロイドで反対合が双射である場合、標準的写像の上への性質がガロア性を示し、反対合が双射であるとき左ガロア条件と右ガロア条件が一致することを示し、クライマー＝タケウチおよびドイの結果を非可換基底代数へと拡張する。

ABSTRACT

An extension B\subset A of algebras over a commutative ring k is an H-extension for an L-bialgebroid H if A is an H-comodule algebra and B is the subalgebra of its coinvariants. It is H-Galois if the canonical map A\otimes_B A o A\otimes_L H is an isomorphism or, equivalently, if the canonical coring (A\otimes_L H:A) is a Galois coring. In the case of a Hopf algebroid H=(H_L,H_R,S) any H_R-extension is shown to be also an H_L-extension. If the antipode is bijective then also the notions of H_R-Galois extensions and of H_L-Galois extensions are proven to coincide. Results about bijective entwining structures are extended to entwining structures over non-commutative algebras in order to prove a Kreimer-Takeuchi type theorem for a finitely generated projective Hopf algebroid H with bijective antipode. It states that any H-Galois extension B\subset A is projective, and if A is k-flat then already the surjectivity of the canonical map implies the Galois property. The Morita theory, developed for corings by Caenepeel, Vercruysse and Wang, is applied to obtain equivalent criteria for the Galois property of Hopf algebroid extensions. This leads to Hopf algebroid analogues of results for Hopf algebra extensions by Doi and, in the case of Frobenius Hopf algebroids, by Cohen, Fishman and Montgomery.

研究の動機と目的

• ホップ代数からホップアレブロイドへのガロア理論の拡張、特に非可換基底代数の文脈における目的。
• クライマー＝タケウチの定理を、有限生成的射影的かつ反対合が双射である条件の下で、ホップアレブロイドへ一般化し、標準的写像の上への性質が双射性および射影性を示すことを証明する。
• ホップアレブロイドの文脈において、モリタ理論的基準を統合・拡張し、標準的コーリングとエンティーニング構造を用いてガロア拡張を特徴付ける。
• 反対合が双射である場合に、左ガロア拡張と右ガロア拡張が同値であることを確立し、ホップアレブロイド理論における主要な対称性の問題を解決する。

提案手法

• ホップアレブロイド上の余モジュール代数を、左および右のバイアレブロイド成分における両方の余モジュール構造が整合的である代数として定義し、それらの作用が互いに余線形であることを要件とする。
• 標準的コーリング $ A \bigotimes_L \bH $ を導入し、そのガロア性を用いて $ \bH $-ガロア拡張を特徴付ける。
• コーリングのモリタ理論を適用し、ガロア性の同値条件を導出し、ドイおよびコーエン＝フィッシュマン＝モンゴメリーの結果をホップアレブロイドの文脈に一般化する。
• 非可換代数上のエンティーニング構造を用いて、双対的エンティーニング写像に関する議論を拡張し、クライマー＝タケウチの定理の一般化を可能にする。
• フロベニウス的ホップアレブロイド $ \bH $ に対して、非退化的左積分の存在が、標準的ものと同値なモリタコンテキストの構成を可能にし、標準的写像の上への性質に関する基準を導く。
• ホップアレブロイド $ \bH $ とその $ A $-双対 $ {}^*\bH $ の双対性を活用し、スモッシュ積代数 $ {}^*\bH \rtimes A $ の構造とガロア性を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップアレブロイド拡張 $ B \to A $ に対して、標準的写像 $ A \bigotimes_B A \to A \bigotimes_L \bH $ の上への性質が、どのような条件下でその双射性を示すか？
• RQ2 ホップアレブロイド $ \bH $ 上の余モジュール代数 $ A $ に対して、$ \bH_L $-ガロア条件と $ \bH_R $-ガロア条件がいつ一致するか？
• RQ3 コーリングのモリタ理論は、ホップアレブロイドの文脈において、ガロア拡張を特徴付けるためにどのように適合されるか？
• RQ4 反対合が果たす役割は、ホップアレブロイド拡張における左ガロア構造と右ガロア構造の対称性を保証するためにどのようなものか？
• RQ5 クライマー＝タケウチの定理は、非可換基底代数を持つホップアレブロイドへ一般化可能か？そのために必要な条件は何か？

主な発見

• 有限生成的射影的ホップアレブロイド $ \bH $ で反対合が双射である場合、標準的写像 $ A \bigotimes_B A \to A \bigotimes_L \bH $ の上への性質が、その双射性および $ B $-加群としての $ A $ の射影性を示す。
• ホップアレブロイド $ \bH $ の反対合が双射であるとき、任意の $ \bH $-余モジュール代数 $ A $ に対して、$ \bH_L $-余不変量と $ \bH_R $-余不変量が一致し、左・右構造の対称性が保証される。
• 標準的コーリング $ (A \bigotimes_L \bH : A) $ がガロア的であることは、拡張 $ B \to A $ が $ \bH $-ガロア的であることと同値であり、ガロア拡張のコーリング理論的特徴付けを一般化する。
• フロベニウス的ホップアレブロイド $ \bH $ に対して、拡張 $ B \to A $ が $ \bH $-ガロア的であることと、任意の非退化的左積分 $ {}^*\rho $ に対して写像 $ a \bigotimes_B a' \to (\rho_R \rtimes a)({}^*\rho \rtimes 1)(\rho_R \rtimes a') $ が上への性質を満たすことは同値である。
• 代数 $ A $ の右 $ \bH_R $-余モジュール構造に関連するモリタコンテキストは、スモッシュ積 $ {}^*\bH \rtimes A $ に関連するモリタコンテキストと同値であり、コーエン＝フィッシュマン＝モンゴメリーの枠組みを拡張する。
• もし $ k $-代数 $ {}^*\bH \rtimes A $ が単純であれば、拡張 $ B \to A $ は $ \bH $-ガロア的である。これは、有限次元ホップ代数の結果をホップアレブロイドの文脈に一般化する。