[論文レビュー] Galois theory for weak Hopf algebras

S. Caenepeel, E. De Groot|ArXiv.org|Jun 9, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Galoisコリングの枠組みを用いて、弱ホップ代数に対するガロア理論を構築し、古典的ガロア拡大および強く順序付けられた環の弱版を確立する。群系列代数に関しては、$G$-加群代数がガロア的であることと強く順序付けられていることの同値性を示し、双対群系列代数に関しては、標準写像の同型条件とモリタの文脈を確立する。これは、古典的および部分的ガロア理論を一般化するものである。

ABSTRACT

We develop Hopf-Galois theory for weak Hopf algebras, and recover analogs of classical results for Hopf algebras. Our methods are based on the recently introduced Galois theory for corings. We focus on the situatation where the weak Hopf algebra is a groupoid algebra or its dual. We obtain weak versions of strongly graded rings, and classical Galois extensions.

研究の動機と目的

• 古典的ホップ＝ガロア理論を弱ホップ代数の設定に拡張すること。
• 非可換幾何学および量子対称性においてその重要性が高まる中で、弱ホップ代数に対する体系的なガロア理論の欠如に応えること。
• ガロア拡大および強く順序付けられた環の古典的特徴付けを、弱い設定に一般化すること。
• 特に群系列代数およびその双対に関して、ガロアコリング理論を弱ホップ代数に適用すること。
• 標準写像が同型となる条件を確立し、ガロア拡大とモリタの文脈および生成元を結びつけること。

提案手法

• 著者たちは、BrzezińskiとWisbauerによって開発されたガロアコリング枠組みを用い、コリングおよびコモジュールの理論を応用する。
• 環の拡大 $B \to A$ に対して、$\mathcal{D} = A \otimes_B A$ という標準コリングを定義し、代数構造によって誘導される余乗法と余単位を導入する。
• 群系列代数に関しては、$G$-加群代数構造を定義し、コインvariant部分環 $A^{G}$ を分析し、$T = A^G$ と特定する。
• 双対写像の像として得られるモジュール $Q = \{ \sum_{\sigma \in G_1} u_\sigma (\sigma \cdot a) \mid a \in A \}$ を構成する。
• 接続写像 $\tau$ と $\mu$ を用いて、$T = A^G$、$\underline{\mathrm{Hom}}(H,A)$、および $A$ の間のモリタの文脈を確立する。
• 標準写像 $\mathrm{can}$ が同型であることと、$B = T$ かつモリタの文脈が厳密であること、あるいは同値に、$A$ が $B$-生成元であり $\mathrm{can}$ が同型であることとが同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱ホップ代数（特に群系列代数）の $G$-加群代数がガロア拡大であるための条件は何か？
• RQ2 コリング形式主義を用いて、古典的ガロア理論を弱ホップ代数にどのように一般化できるか？
• RQ3 弱い設定において、ガロア拡大と強く順序付けられた代数の関係は何か？
• RQ4 弱ホップ代数に対して、標準写像 $\mathrm{can}: A \otimes_B A \to \mathcal{D}$ が同型となる条件は何か？
• RQ5 弱ホップ代数のガロア理論において、モリタの文脈はどのように自然に生じるのか？また、どのような条件下でそれが厳密になるか？

主な発見

• 有限群系列 $G$ に対して、$G$-加群代数 $A$ がガロア的であることと強く順序付けられていることは同値であり、これはUlbrichの結果を弱い設定に一般化する。
• 標準写像 $\mathrm{can}: A \otimes_B A \to \mathcal{D}$ が同型であることと、$B = T = A^G$ かつモリタの文脈が厳密であることとが同値である。
• 双対標準写像のモジュール $Q$ はアーベル群として $A$ に同型であり、$\underline{\mathrm{Hom}}(H,A)$ および $T$ における自然な両側加群構造を備え、これによりモリタの文脈を形成する。
• $\tau: A \otimes_{\underline{\mathrm{Hom}}(H,A)} A \to T$ が全射であることと、$\sum_{\sigma \in G_1} \sigma \cdot a = 1$ を満たす $a \in A$ が存在することは同値であり、これは分離条件の弱いアナログである。
• 標準写像 $\mathrm{can}$ が同型であることと、$A$ が左 $B$-平坦的で $B = T$ であること、あるいは同値に、$A$ が左 $B$-生成元であることとが同値である。
• 随伴関手 $F$ と $G$ がカテゴリの同値をなすことと、$B = T$ かつモリタの文脈が厳密であることとが同値であり、ガロア設定においてカテゴリの同値を確立する。