[論文レビュー] Galois theory, motives and transcendental numbers

Yves André|ArXiv.org|May 16, 2008

History and Theory of Mathematics参考文献 4被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、Grothendieckのモチーフ理論を用いて、超越数のための推測的ガロア理論的枠組みを提案する。π や楕円積分のような周期が、代数的数と同様に明確な共役とガロア群を持つと示唆する。π に対してはガロア群が ℚ× であることが示され、一般の楕円周期に対しては GL₂(ℚ) であり、CM の場合にはカルタン部分群の正規化群となる。モチーフ的ガロア群は、複数のゼータ値の代数的関係を制御する。

ABSTRACT

From its early beginnings up to nowadays, algebraic number theory has evolved in symbiosis with Galois theory: indeed, one could hold that it consists in the very study of the absolute Galois group of the field of rational numbers. Nothing like that can be said of transcendental number theory. Nevertheless, couldn't one associate conjugates and a Galois group to transcendental numbers such as $π$? Beyond, can't one envision an appropriate Galois theory in the field of transcendental number theory? In which role? The aim of this text is to indicate what Grothendieck's theory of motives has to say, at least conjecturally, on these questions.

研究の動機と目的

• 代数的数から超越数へ、ガロア理論的枠組みを意味的に拡張できるかを検討すること。
• π や楕円曲線の周期のような超越数が、明確な共役とガロア群を持つのかを調査すること。
• Grothendieckのモチーフ理論を、特にモチーフ的ガロア群を通じて、超越数論と結びつけること。
• 複数のゼータ値の代数的関係を制御するモチーフ的ガロア群の役割を検討すること。
• モチーフ的ガロア理論と代数的多様体族における微分ガロア理論の間の概念的橋渡しを確立すること。

提案手法

• 超越数 α の共役の集合は、その周期の有理数スカラー倍の線形包として定義され、例えば ℚ×·π または Lℚ\{0}（楕円周期の場合）となる。
• ガロア閉包を、共役の生成する環 ℚ[α]_gal として定義する。例えば、π の場合は ℚ[π]、楕円曲線の場合は ℚ[ω₁,ω₂] となる。
• ガロア群 G_α を、共役に可徹的に作用するガロア閉包の自己同型群として定義する。
• π の場合、G_π = ℚ× である。一般の楕円周期では G_α = GL₂(ℚ) であり、CM の場合には G_α = N_K（カルタン部分群の正規化群）となる。
• Grothendieckの周期予想とモチーフ的ガロア群を用いて、複数のゼータ値の代数的関係を制御する。
• モチーフ的ガロア群を、家族におけるガウス＝マニン接続の微分ガロア群と関連づけ、L_mot(s) ⊆ L(s) ⊆ L_dif(s) が成り立ち、一般には等号が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 π や楕円曲線の周期のような超越数へ、ガロア理論的枠組みを意味的に拡張できるか？
• RQ2 π のような超越数に対して、共役とガロア群の適切な定義は何か？
• RQ3 モチーフ的ガロア群は、複数のゼータ値の代数的関係をどのように制御するか？
• RQ4 代数的多様体族におけるモチーフ的ガロア群と微分ガロア群の関係は何か？
• RQ5 どのような場合に、モチーフ的ガロア群が代数的パrameterへの特殊化において微分ガロア群と一致するか？

主な発見

• π に対してはガロア群が ℚ× であり、ℚ×·π に可徹的に作用し、固定体は ℚ である。
• 一般の楕円周期（CM でない場合）に対してはガロア群が GL₂(ℚ) であり、Lℚ\{0} に可徹的に作用し、固定体は ℚ である。
• CM の場合にはガロア群がカルタン部分群の正規化群 N_K であり、周期の環はこの群によるトーラス的構造を持つ。
• 複数のゼータ値のモチーフ的ガロア群は、ℚ× に奇数次元 >1 で自由なリー代数を持つプルニット群の拡張であると予想される。
• 重さ s の多重ゼータ値の ℚ-ベクトル空間 ℤ_s の次元は、(1−x²−x³)^−1 の x^s の係数 d_s によって上から抑えられる。
• 一般の s に対してはモチーフ的ガロア群と微分ガロア群が一致するが、CM の場合にはモチーフ的群は微分群よりも真に小さい。