[論文レビュー] Galois theory of B_dR^+ in the imperfect residue field case

Shun Ohkubo|ArXiv.org|May 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Iovita-Zaharescuの$B_{\text{dR}}^+$のガロア理論を、不完全な残渣体をもつ局所体へ一般化し、Colmezの高次Kähler微分の新しい構造定理を用いる。主な結果は、$\widehat{L}_k = B_k^{G_L}$が成り立つための必要十分条件として、特定のコhomologicalおよび微分的条件——特に高次微分のTateモジュールの消滅と標準的導分の上への性質——が満たされることである。これは古典的なAx-Sen-Tate定理を不完全な場合へ拡張するものである。

ABSTRACT

We generalize a work of Iovita-Zaharescu on the Galois theory of B_dR^+ to the imperfect residue field case. The proof is based on a structure theorem of Colmez's higher Kahler differentials.

研究の動機と目的

• 局所体$K$の残渣体が不完全である場合に、Iovita-Zaharescuの$B_{\text{dR}}^+$に関するガロア理論的結果を拡張すること。
• $B_{\text{dR}}^+$のガロアコhomologyにおいて、不完全な残渣体が引き起こす技術的困難を解消すること。
• 不完全な残渣体を持つ状況下で、Colmezの高次Kähler微分の構造定理を確立すること。
• 代数拡大$L/K$に対して、固定部分環$B_k^{G_L}$が$p$-進完備化$\widehat{L}_k$に一致する条件を特定すること。
• $\widehat{L}_\infty = (B_{\text{dR}}^+)^{G_L}$であるための基準を、高次導分とTateモジュールの観点から精緻化すること。

提案手法

• 不完全な残渣体の場合の高次Kähler微分$\Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}}$の構造定理を構築し、Colmezの結果を一般化する。
• 多重添字記法と$p$-進極限を用いて、標準的導分$d^{(k)}: \mathcal{O}_L^{(k-1)} \to \Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}}$の像を分析する。
• Tateモジュール構成$T_p(\Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}})$を用いて、微分における$p$-可除性を検出する。
• 逆極限との関係を示す完全列$0 \to \varprojlim d^{(k)}(\mathcal{O}_L^{(k-1)}) \to \widehat{L}_k \to \widehat{L}_{k-1} \to \varprojlim^1 d^{(k)}(\mathcal{O}_L^{(k-1)}) \to 0$を用いる。
• Lubin-Tate理論と具体例を用いて、$\mathcal{O}_L^{(1)}$における$p$-進コーシー列の振る舞いと、$B_1$位相において収束しないことの分析を行う。
• $p$-進バナッハ空間の開写像定理を用いて、$\mathrm{Im}(d:\mathcal{O}_L \to \Omega^1_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}})_{\mathrm{div}} = 0$のとき、射影$\mathrm{pr}: \widehat{L}_1 \to \widehat{L}$が全射でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所体$K$の残渣体が不完全であるとき、代数拡大$L/K$に対して$\widehat{L}_k = B_k^{G_L}$が成り立つ条件は何か？
• RQ2 高次Kähler微分$\Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}}$は不完全な残渣体の場合にどのように振る舞い、どのような構造を持つのか？
• RQ3 Tateモジュール$T_p(\Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}})$は、$B_k^{G_L}$におけるガロア不変性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 標準的導分$d^{(k)}: \mathcal{O}_L^{(k-1)} \to \Omega^{(k)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}}$が全射である条件は何か？ そして、これは固定部分環にどのように影響を与えるか？
• RQ5 $\mathrm{pr}: \widehat{L}_1 \to \widehat{L}$が全射でないことは、特定の$p$-進列が$B_1$-コーシー列でないことにどのように関係するか？

主な発見

• $k=0$のとき、$\widehat{L} = \mathbb{C}_p^{G_L}$は常に成り立ち、これはAx-Sen-Tate定理を不完全な残渣体へ一般化する。
• $H^0(G_L, \mathbb{C}_p(1)) = 0$のとき、すべての$k$に対して$\widehat{L}_k = B_k^{G_L}$かつ$\widehat{L}_\infty = (B_{\text{dR}}^+)^{G_L}$が成り立ち、これらはすべて$\widehat{L}$に同型である。
• $H^0(G_L, \mathbb{C}_p(1)) \neq 0$のとき、$\widehat{L}_k = B_k^{G_L}$であるための必要十分条件は、すべての$1 \leq n \leq k$に対して$T_p(\Omega^{(n)}_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}}) \neq 0$かつ$d^{(n)}$が全射であることである。
• $\widehat{L}_k = B_k^{G_L}$がすべての$k$に対して成り立つならば、$\widehat{L}_\infty = (B_{\text{dR}}^+)^{G_L}$が成り立つ。このとき、同じ微分的条件が成立する。
• $\mathrm{Im}(d:\mathcal{O}_L \to \Omega^1_{{\mathcal{O}_L}/{\mathcal{O}_K}})_{\mathrm{div}} = 0$のとき、射影$\mathrm{pr}: \widehat{L}_1 \to \widehat{L}$は単射だが全射でない。これは、$\{p^n \zeta_{p^n}\}$のような$B_1$-コーシー列でない$p$-進列が原因である。
• $K = \mathbb{Q}_p$のとき、$K^{\mathrm{ab}}/K$がレベル1でde Rhamであるための必要十分条件は$K \neq \mathbb{Q}_p$であることである。これはガロア理論的性質における明確な違いを示している。