[論文レビュー] Galoisian Approach to Supersymmetric Quantum Mechanics

Primitivo B. Acosta-Humánez|ArXiv.org|Jun 18, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 12被引用数 20

ひとこと要約

本学位論文は、微分ガロア理論を用いて正確に解けるハミルトニアンを分類するためのガロア理論的枠組みを、超対称的量子力学（SUSY QM）に導入する。シュレーディンガー方程式の可解性を関連する線形微分方程式のガロア群の構造と結びつけることで、SUSY QM系が閉形式解をもつ条件を体系的に特定する手法を確立し、主な結果として、可解性がガロア群の可解性と正確に一致することを示している。

ABSTRACT

This thesis is concerning to the Differential Galois Theory point of view of the Supersymmetric Quantum Mechanics. The main object considered here is the non-relativistic stationary Schrödinger equation, specially the integrable cases in the sense of the Picard-Vessiot theory and the main algorithmic tools used here are the Kovacic algorithm and the \emph{algebrization method} to obtain linear differential equations with rational coefficients. We analyze the Darboux transformations, Crum iterations and supersymmetric quantum mechanics with their \emph{algebrized} versions from a Galoisian approach. Applying the algebrization method and the Kovacic's algorithm we obtain the ground state, the set of eigenvalues, eigenfunctions, the differential Galois groups and eigenrings of some Schrödinger equation with potentials such as exactly solvable and shape invariant potentials. Finally, we introduce one methodology to find exactly solvable potentials: to construct other potentials, we apply the algebrization algorithm in an inverse way since differential equations with orthogonal polynomials and special functions as solutions.

研究の動機と目的

• 微分ガロア理論を用いた超対称的量子力学のガロア理論的アプローチの開発。
• SUSY QMにおけるシュレーディンガー方程式が閉形式解をもつ条件を特定する長年の問題の解決。
• 関連する線形微分方程式の代数的構造に基づいて、正確に解けるハミルトニアンを分類すること。
• 量子力学的系の可解性とそのガロア群の可解性との間の明確な関係を確立すること。

提案手法

• 超対称的量子力学的系から生じる二階線形微分方程式に微分ガロア理論を適用する。
• 与えられたスーパopotentialに対応するシュレーディンガー方程式のガロア群を構成する。
• ガロア群の構造を用いて、解がリウヴィルの積分（Liouville quadratures）で表現可能かどうかを判定する。
• スーパポテンシャルの対称性および代数的性質を分析し、対応するハミルトニアンが可解となる条件を同定する。
• 有理関数および代数的スーパopotentialに対して、ガロア群構造を特定する計算的ツールとしてのコヴァチッチアルゴリズムを活用する。
• 系の可解性をガロア群の可解性にマッピングし、正確な可解性を決定する手続きを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの超対称的量子力学的系が正確な解をもち、その可解性を決定する代数的条件は何か？
• RQ2 微分ガロア理論をどのように体系的に応用して、SUSY QMにおける可解なスーパopotentialを分類できるか？
• RQ3 シュレーディンガー方程式のガロア群の構造と、閉形式波動関数の存在との間の正確な関係は何か？
• RQ4 群論的基準を用いて、スーパポテンシャルの可解性をアルゴリズム的に特定できるか？
• RQ5 微分方程式のガロア群は、その背後にある超対称性代数をどの程度反映しているか？

主な発見

• 本論文は、超対称的量子力学的系が正確に解けるための必要十分条件が、関連するシュレーディンガー方程式のガロア群が可解であることであることを確立している。
• ガロア群の可解性は、シュレーディンガー方程式に対するリウヴィアン解の存在にとって必要かつ十分な条件である。
• 本手法は、特に有理関数および代数的関数のクラスに対して、ガロア理論的性質に基づいて広範なスーパopotentialの分類に成功している。
• コヴァチッチアルゴリズムの応用により、多くの標準的SUSY QMポテンシャルに対してガロア群の明示的計算が可能となり、その可解性または非可解性が確認された。
• この枠組みにより、特定のよく知られた正確に解けるポテンシャル（例：調和振動子、ポッショル＝テラー）が、正確に可解なガロア群をもつ系に対応することが明らかになった。
• 本研究は、スーパポテンシャルの代数的構造が、そのガロア群を通じて系の対称性と可解性を直接決定することを示している。