[論文レビュー] Galton-Watson processes in varying environment and accessibility percolation

Daniela Bertacchi, Pablo M. Rodríguez+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、変化する環境における分岐過程（BPVE）およびその選択に基づく変種（BPWS）における生存・絶滅の十分条件を、モーメント基準と母関数解析を用いて確立している。生存は、子孫分布の一次モーメントと二次モーメントの相互作用に依存しており、主要な結果として、これらが木構造上のアクセスビリティパーコレーションと関連づけられ、成長率が臨界値に達する段階的転移が生じることを示している。

ABSTRACT

This paper deals with branching processes in varying environment, namely, whose offspring distributions depend on the generations. We provide sufficient conditions for survival or extinction which rely only on the first and second moments of the offspring distributions. These results are then applied to branching processes in varying environment with selection where every particle has a real-valued label and labels can only increase along genealogical lineages; we obtain analogous conditions for survival or extinction. These last results can be interpreted in terms of accessibility percolation on Galton-Watson trees, which represents a relevant tool for modeling the evolution of biological populations.

研究の動機と目的

• 変化する環境における分岐過程（BPVE）のほとんど確実な絶滅および生存の十分条件を、子孫分布の一次モーメントと二次モーメントのみに依存して導出すること。
• これらの結果を、線形に沿って適合度が増加する粒子の選択付き分岐過程（BPWS）に拡張し、適合度制約を伴う生物学的進化をモデル化すること。
• BPWSをガルトン＝ワトソン木上のアクセスビリティパーコレーションに関連づけ、適合度依存生存を有する進化的ダイナミクスの確率的枠組みを提供すること。
• 平均子孫数が多項式的に成長する場合のBPWSにおける段階的転移行動を特定し、指数が1より大きい場合に生存が成立し、1以下では絶滅が成立することを示すこと。
• 与えられた適合度区間におけるBPWSの局所的生存を保証するため、構築されたBPVEを用いた確率的支配技術を開発し、{ci}i≥0 の列を含むモーメント条件に基づく証明を行うこと。

提案手法

• 母関数と不動点解析を用いて、非自明な不動点の存在を根拠にBPVEにおける生存を特徴づけること。
• 子孫分布の一次モーメントの列 {mn} のみに依存する、ほとんど確実な絶滅の十分条件を導出すること。
• BPWSから、粒子の位置を区間 [xn−1, xn) に制限し、独立な間引き確率 pn を用いて、確率的に支配されるBPVEを構築すること。
• 支配されるBPVEのモーメントを解析： emn = pnmn および em(2)n − emn = p2n(m(2)n − mn) であり、これらは元のプロセスのモーメントと関連づけられる。
• 支配されるBPVEに定理2.5を適用し、µ(¯x, y) > 0 である区間 [¯x, y) における元のBPWSの局所的生存を示すこと。
• モーメント条件を精緻化するための列 {ci}i≥0 を導入し、∑ci/mi < ∞ かつ第二モーメント比 m(2)n/m2n が ∏i=0n−1 ci に対して成長条件を満たす場合に、生存結果を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変化する環境における分岐過程（BPVE）がほとんど確実に生存するためのモーメント条件は何か？
• RQ2 一次モーメントと二次モーメントのみが与えられたBPVEにおいて、生存と絶滅がどのように特徴づけられるか。特に、一次モーメントが1以下である場合に有効な条件は何か？
• RQ3 親より適合度が高い子孫のみが再生可能な選択付き分岐過程（BPWS）で生存を保証する条件は何か？
• RQ4 平均子孫数の成長率がBPWSにおける生存確率にどのように影響するか。また、臨界指数において段階的転移が生じるか？
• RQ5 与えられた適合度区間において、BPWSがBPVEに確率的に支配可能であるか。もし支配されれば、そのBPVEの生存が、元のBPWSの局所的生存を示唆するか？

主な発見

• 一次モーメントの列 {mn} のみに依存する、BPVEにおけるほとんど確実な絶滅の十分条件が導出され、mn < 1 である場合でも絶滅が生じ得ることを示している。
• BPVEにおける生存は、第二モーメントと第一モーメントの二乗の比を、第一モーメントの積でスケーリングした条件が収束すること（定理2.5）で保証される。
• BPWSでは、列 {ci}i≥0 が存在し、∑ci/mi < ∞ かつ第二モーメント比 m(2)n/m2n が ∏i=0n−1 ci に対して成長条件を満たす場合に、生存が保証される。
• mn ∼nα の場合、α = 1 で段階的転移が生じる： α < 1 では絶滅が成立し、α > 1 ではモーメント条件 (3.4) を満たす限り生存が成立する。
• 具体的な例として、幾何分布、ポアソン分布、二項分布の子孫分布は、∑1/mi < ∞ のとき、生存条件を満たすことが示されている。
• 列 {ci} を用いることで、∑1/mi = ∞ の場合でも生存条件を適用可能となり、第二モーメント比 m(2)n/m2n の許容範囲も拡大され、より広範なモデルに適用可能になる。