[論文レビュー] Galvin's property at large cardinals and an application to partition calculus

Tom Benhamou, Shimon Garti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2022

Advanced Topology and Set Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、強大基数や可測基数を含む大規模基数における超フィルターのGalvin性の整合性を、強制法と反復技法を用いて調査する。特に、超コンパクト基数が非GalvinおよびGalvin超フィルターの両方を有することが整合的であることを示し、弱い基数算術的仮定の下で、特に決定性のモデルにおいて、新しい形の分割関係 $\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ を得る応用を行う。

ABSTRACT

In the first part of this paper, we explore the possibility for a very large cardinal $κ$ to carry a $κ$-complete ultrafilter without Galvin's property. In this context, we prove the consistency of every ground model $κ$-complete ultrafilter extends to a non-Galvin one. Oppositely, it is also consistent that every ground model $κ$-complete ultrafilter extends to a $P$-point ultrafilter, hence to another one satisfying Galvin's property. Finally, we apply this property to obtain consistently new instances of the classical problem in partition calculus $λ ightarrow(λ,ω+1)^2$.

研究の動機と目的

• 超コンパクトや$C^{(n)}$-拡張可能基数のような非常に大きな基数が、Galvin性に失敗する$\theta$-完全超フィルターを有しうるかどうかを調査すること。
• すべてのグランドモデルの$\theta$-完全超フィルターが非Galvinなものに拡張可能であるという主張の整合性の強度を特定すること。
• 逆の状況を検討する：すべての$\theta$-完全超フィルターが$P$-ポイントに拡張可能であるか、したがってGalvin超フィルターになるか。
• これらの強制構成を分割論理に応用し、特に強い基数算術を仮定せずに、$\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ の新しい例を得ること。
• 特に$V=L(\bbR)$や$\bf{AD}$における決定性モデルにおいて、Galvin性の役割を分析し、新しい肯定的分割関係を導出すること。

提案手法

• 適切な強制法による一般的拡張を用いて、超コンパクト基数$\theta$がGalvin性に失敗する$\theta$-完全超フィルターを有するモデルを構成する。
• 一般化されたMathias強制法の反復を適用して、任意の$\theta$-完全フィルターをGalvin性を満たす$\theta$-完全超フィルターに拡張する。
• GitikとShelahが開発した洗練された反復技法を応用し、すべてのグランドモデルの$\theta$-完全超フィルターが$P$-ポイント超フィルターに拡張可能であることを強制する。
• 特定のGalvin性の失敗に関する仮定の下で、負の分割関係$\theta\nrightarrow(\theta,\theta+1)^2$ を示すために、2色分け$c:[\theta]^2\to 2$ を構成する。
• 決定性公理と$\bf{L}(\bbR)$の構造を活用して、$\bf{AD}+V=L(\bbR)$の下で、ある種の特異基数$\theta$が$\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ を満たすことを示す。
• 可測基数の極限におけるクラブフィルターと正規測度を用いて、主な分割論理定理の仮定を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超コンパクト基数$\theta$がGalvin性に失敗する$\theta$-完全超フィルターを有するということは、整合的であるか？
• RQ2 超コンパクト$\theta$上のすべての$\theta$-完全超フィルターが$P$-ポイント超フィルターに拡張可能であるか、したがってGalvin性を満たすか？
• RQ3 $2^\theta \neq \theta^+$のとき、分割関係$\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ の整合性の強度は何か？
• RQ4 $\bf{AD}$の下で、正則な共終型が非可算な特異$\theta$について、$\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ は成り立つか？
• RQ5 Galvin性の失敗に関するどのような条件が、$\theta\nrightarrow(\theta,\theta+1)^2$ を強制するために必要か？

主な発見

• 適切な強制法による一般的拡張を用いることで、超コンパクト基数$\theta$がGalvin性に失敗する$\theta$-完全超フィルターを有することが整合的である。
• また、超コンパクト$\theta$上のすべての$\theta$-完全超フィルターが$P$-ポイント超フィルターに拡張可能であり、したがってGalvin性を満たすことも整合的である。
• 一般化されたMathias強制法の反復により、すべての$\theta$-完全フィルターがGalvin性を満たす$\theta$-完全超フィルターに拡張可能であることが保証される。
• 基数算術的仮定$2^\theta < \theta^+$をGalvin性の特定の例に置き換えることで、$\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ の新しい例が得られる。
• $\bf{AD}+V=L(\bbR}$の下で、$\theta$が正則基数の極限で$\theta = \text{cf}(\theta) > \theta$を満たすならば、$\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ が成り立つ。
• 特に、$\theta = \beth_{\theta}$および$\theta = \beth_{\theta+1}$は、$\bf{AD}$の下で$\theta\rightarrow(\theta,\theta+1)^2$ と整合的であり、$2^\theta > \theta$であっても成り立つ。