[論文レビュー] Game pricing and double sequence of random variables

Yukio Hirashita|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、繰り返し投資における資本の長期的成長率を最大化する最適な投資比率を決定する、新しいゲーム価格設定モデルを提案する。払い戻し期待値をモデル化するために二重確率変数列を用い、ブラック・ショールズモデルとは異なる価格設定式を導出。主な貢献は、最適成長が期待リターンが無リスク金利に等しい場合に達成されることを示し、期待ペイオフが割引行使価格に等しい場合ではないことである。

ABSTRACT

In this paper, we study a game with positive or plus infinite expectation and determine the optimal proportion of investment for maximizing the limit expectation of growth rate per attempt. With this objective, we introduce a new pricing method in which the price is different from that obtained by the Black-Scholes formula for a European option.

研究の動機と目的

• 繰り返しゲーム設定において、1回あたりの成長率の極限期待値を最大化する最適投資比率を特定すること。
• ブラック・ショールズの公式とは独立した、金融ゲームやオプションの新しい価格設定メカニズムを開発すること。
• 成長率の極限期待値が収束し、最大値をとる条件を確立すること。
• 繰り返し投資ダイナミクスから対数効用関数が自然に導かれる理由を示し、事前に仮定しない場合でも成立することを示すこと。
• 期待値ではなく成長率最大化に基づいて、サンクトペテルブルクゲームおよびヨーロピアン・オプションの価格設定フレームワークを提供すること。

提案手法

• 有界ステップ関数 f_N(x) に基づく二重確率変数列 {X_{N,n}} を導入し、それが報酬関数 a(x) に収束することにより収束解析を可能にする。
• 1回あたりの成長率を (M_n / M_0)^{1/n} として定義し、主要な性能指標として E[X_{N,n}] の極限期待値を用いる。
• 固定割合投資における長期的成長率として、G_u(t) = exp(∫_I log(a(x)t/u - t + 1) dF(x)) を導出する。
• 公平価格 u を決定するための条件として、G_u(t_u) = r + 1（連続複利の場合は e^r）を用いる。
• ジェンセンの不等式および積分不等式を用いて、G_u(t) が t に関して厳密に単調減少であり、u に関して連続であることを証明し、最適 t_u の一意性を保証する。
• 本質的下限 ξ および積分 H = ∫ dF(x)/a(x)、H_ξ = ∫ dF(x)/(a(x) - ξ) を用いて、最適投資比率の存在および境界を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたゲーム価格 u に対して、1回あたりの成長率の極限期待値を最大化する最適投資比率 t_u は何か？
• RQ2 提案された価格設定法は、金融オプションの公平価格を決定するにあたり、ブラック・ショールズの公式とどのように異なるか？
• RQ3 成長率の極限期待値が存在し、有限値に収束する条件は何か？
• RQ4 繰り返し投資ゲームにおいて、対数効用関数が最適であると自然に導かれる理由は何か？（事前に仮定しない場合でも成立する。）
• RQ5 無リスク金利が 4% の場合、サンクトペテルブルクゲームの公平価格は何か？

主な発見

• 無リスク金利 4% のサンクトペテルブルクゲームにおいて、最適価格は u ≈ 5.1052 であり、これにより最大成長率 1.04 を達成する。
• 無リスク金利 4% の場合、サンクトペテルブルクゲームの最適投資比率は t_u ≈ 0.1658 である。
• S=100、σ=0.3、r=0.04 の対数正規分布ゲームでは、最適価格は u ≈ 95.6132 であり、成長率は e^0.04 ≈ 1.0408 を達成する。
• ヨーロピアン・プット・オプションに対して、ブラック・ショールズの公式は u ≈ 21.2176 の高い価格を提示するが、成長率は 1.0096 にとどまり、最適価格 u ≈ 17.8157 では 1.0833 に達する。
• ヨーロピアン・プット・オプションの最適価格における最適投資比率は t_u ≈ 0.5434 であるのに対し、ブラック・ショールズ価格では t_u ≈ 0.2278 である。
• 本稿では、E = ∞ または E < ∞ の場合に G_u(t) が u ∈ (0, E) で連続的かつ厳密に単調減少であることを証明し、最適価格の存在と一意性を保証する。