[論文レビュー] Games and hereditary Baireness in hyperspaces and spaces of probability measures

Mikołaj Krupski|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、可分な距離空間 X に対するヒルベルト空間 K(X) および確率測度空間 Pr(X) における遺伝的ベア性のゲーム理論的特徴付けを確立する。修正されたチョケットゲームを用いて、K(X) が遺伝的ベアであるための必要十分条件を示し、X における強いチョケットゲームでプレイヤー II が必勝戦略を持つことと同値である。この結果から、Pr(X) が遺伝的ベアであることも示される。主な貢献は、[0,1] の非 Gδ 部分集合で、そのラドン確率測度空間が遺伝的ベアである ZFC における初の構成例の提供である。

ABSTRACT

We establish that the existence of a winning strategy in certain topological games, closely related to a strong game of Choquet, played in a topological space $X$ and its hyperspace $K(X)$ of all nonempty compact subsets of $X$ equipped with the Vietoris topology, is equivalent for one of the players. For a separable metrizable space $X$, we identify a game-theoretic condition equivalent to $K(X)$ being hereditarily Baire. It implies quite easily a recent result of Gartside, Medini and Zdomskyy that characterizes hereditary Baire property of hyperspaces $K(X)$ over separable metrizable spaces $X$ via the Menger property of the remainder of a compactification of $X$. Subsequently, we use topological games to study hereditary Baire property in spaces of probability measures and in hyperspaces over filters on natural numbers. To this end, we introduce a notion of strong $P$-filter $\mathcal{F}$ and prove that it is equivalent to $K(\mathcal{F})$ being hereditarily Baire. We also show that if $X$ is separable metrizable and $K(X)$ is hereditarily Baire, then the space $P_r(X)$ of Borel probability Radon measures on $X$ is hereditarily Baire too. It follows that there exists (in ZFC) a separable metrizable space $X$ which is not completely metrizable with $P_r(X)$ hereditarily Baire. As far as we know this is the first example of this kind.

研究の動機と目的

• 可分距離空間 X に対して、K(X) が遺伝的ベアであることに同値なゲーム理論的条件を確立すること。
• トポロジカルゲームを用いて、Borel 確率 Radon 測度空間 Pr(X) における遺伝的ベア性を調査すること。
• N 上の強い P-フィルターを導入し、そのフィルター F に対して K(F) の遺伝的ベア性との関係を特徴付けること。
• [0,1] の非完全距離化可能かつ非 Gδ の部分空間で、そのラドン測度空間が遺伝的ベアである ZFC の例を提供すること。
• コンパクト化の剰余のメンゲル性と K(X) の遺伝的ベア性との関係を探索すること。

提案手法

• トポロジカル空間 X に対して、K(X) の遺伝的ベア性を特徴付けるために、修正された強いチョケットゲーム Ch(X) を導入する。
• プレイヤー II が Ch(X) で必勝戦略を持つならば、K(X) が遺伝的ベアであることをゲーム理論的アプローチで示す。
• テルガルスキーによるメンゲル空間およびコンパクト化に関する結果を応用し、Z\X のメンゲル性と K(X) の遺伝的ベア性を結びつける。
• Pr(X) が遺伝的ベアでない場合に矛盾を導くために、P(Z) における測度の挙動を分析するため、ゲーム GZ\X1(Ok,O) における戦略 σn を構成する。
• N 上の強い P-フィルターを定義し、フィルター F が強い P-フィルターであることと、K(F) が遺伝的ベアであることとが同値であることを証明する。
• P(Z) におけるコンパクト性と完備性の議論を用いて、Mn 内の点列の完全な集積点 λ が Pr(X) に属することを示し、Pr(X) が遺伝的ベアでない場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分距離空間 X に対して、ヒルベルト空間 K(X) の遺伝的ベア性に同値なゲーム理論的特徴付けは存在するか？
• RQ2 K(X) が遺伝的ベアであるならば、X が完全距離化可能でない場合を含めて、Pr(X)（X 上の Borel 確率 Radon 測度空間）も遺伝的ベアであるか？
• RQ3 N 上の強い P-フィルターは、そのヒルベルト空間 K(F) の遺伝的ベア性によって特徴付けられるか？
• RQ4 [0,1] の非 Gδ 部分集合で、そのラドン測度空間が遺伝的ベアである ZFC の例は存在するか？
• RQ5 コンパクト化の剰余のメンゲル性と K(X) の遺伝的ベア性との間にどのような関係があるか？

主な発見

• 可分距離空間 X に対して、K(X) が遺伝的ベアであることと、プレイヤー II が強いチョケットゲーム Ch(X) で必勝戦略を持つことは同値である。
• X が可分距離空間で K(X) が遺伝的ベアであるならば、Pr(X) が遺伝的ベアであることが保証される。これは X が完全距離化可能でない場合にも成立する。
• 非 Gδ 部分集合 X ⊆[0,1] で、Pr(X) が遺伝的ベアである ZFC の例が存在する。これは、完全性に関する未解決問題に対して否定的解答を与える。
• N 上のフィルター F が強い P-フィルターであることと、K(F) が遺伝的ベアであることとは同値であり、これは {0,1}N\F がメンゲルであることと同値である。
• コンパクト化 Z の X に対する剰余 Z\X がメンゲル的であることと、K(X) が遺伝的ベアであることとは同値である。これは Gartside, Medini, Zdomskyy の結果をより簡単な証明で再現する。
• K(X) が遺伝的ベアであることと、プレイヤー I がゲーム GZ\X1(O*,O) で必勝戦略を持たないこととは同値である。これにより、ゲーム理論的性質と位相的性質が結びつけられる。