[論文レビュー] Games of fixed rank: a hierarchy of bimatrix games

Ravi Kannan, Thorsten Theobald|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2007

Game Theory and Applications参考文献 31被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、2名のプレイヤーの報酬行列の和のランクがkである固定ランクkの双行列ゲームを導入し、研究する。これはゼロ和ゲームの一般化である。k=1であっても、ナッシュ均衡は任意に多くの連結成分を形成しうることを示し、近似均衡を求めるための決定的および確率的多項式時間近似アルゴリズムを提示する。後者の方は、ある予想が成り立つ場合、正確な解をもたらす可能性がある。

ABSTRACT

We propose and investigate bimatrix games, whose (entry-wise) sum of the pay-off matrices of the two players is of rank k, where k is a constant. We will say the rank of such a game is k. For every fixed k, the class of rank k-games strictly generalizes the class of zero-sum games, but is a very special case of general bimatrix games. We show that even for k = 1 the set of Nash equilibria of these games can consist of an arbitrarily large number of connected components. While the question of exact polynomial time algorithms to find a Nash equilibrium remains open for games of fixed rank, we can provide a deterministic polynomial time algorithm for finding an e-approximation (whose running time is polynomial in 1\e) as well as a randomized polynomial time approximation algorithm (whose running time is similar), but which offers the possibility of finding an exact solution in polynomial time if a conjecture is valid. The latter algorithm is based on a new application of random sampling methods to quadratic optimization problems of fixed rank.

研究の動機と目的

• 固定ランクkの双行列ゲームにおけるナッシュ均衡の構造と計算複雑性を調査すること。
• 報酬行列の和のランクがkであるゲームとしてゼロ和ゲームを一般化すること。
• 固定ランクゲームにおけるナッシュ均衡の近似に効率的なアルゴリズムを開発すること。
• ある予想のもとで、正確な多項式時間解が得られる可能性を検討すること。

提案手法

• 双行列ゲームのランクを、2名のプレイヤーの報酬行列の和のランクとして定義する。
• ナッシュ均衡集合の位相的構造を分析し、ランク1であっても、任意に多くの連結成分を含みうることを示す。
• ε-近似ナッシュ均衡を計算する決定的多項式時間アルゴリズムを開発し、実行時間は1/εの多項式関数に比例する。
• 固定ランクの二次計画問題に対するランダムサンプリングに基づく確率的多項式時間近似アルゴリズムを提案する。
• ランダムサンプリング技術を用いて、固定ランクの二次計画問題の次元と複雑さを低減する。
• ある予想を活用し、確率的アルゴリズムが特定の条件下で正確な解を多項式時間で得られることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲームのランクkが増加するに従い、ナッシュ均衡集合の連結成分の数はどのように増加するか？
• RQ2 固定ランクゲームにおけるナッシュ均衡の近似または計算に、多項式時間アルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 特にk=1の場合に、固定ランクゲームにおける正確なナッシュ均衡の計算複雑度はどの程度か？
• RQ4 固定ランクの二次計画問題に、ランダムサンプリング手法を効果的に適用できるか？
• RQ5 固定ランクゲームに対する確率的アルゴリズムが、どのような条件下で多項式時間で正確な解を出力するか？

主な発見

• kが固定されている限り、k=1を含め、固定ランクkゲームにおけるナッシュ均衡集合は、任意に大きな数の連結成分を含みうる。
• 1/εの多項式関数に比例する実行時間を持つ、ε-近似ナッシュ均衡を計算する決定的多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 同様の実行時間効率を持つ、確率的多項式時間近似アルゴリズムが提案されている。
• ある固定ランク二次計画問題に関する予想が真であれば、確率的アルゴリズムは多項式時間で正確なナッシュ均衡を計算できる可能性がある。
• 固定ランク二次計画問題へのランダムサンプリングの応用が、解の近似において実用的で効率的な手法であることが示された。