[論文レビュー] Gamma Convergence Approach For The Large Deviations Of The Density In Systems Of Interacting Diffusion Processes

Julien Barré, Cédric Bernardin+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 77被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、N個の相互作用する拡散過程から成る系における経験的密度のための大偏差率関数 I^ǫ が、分離パラメータ ǫ → 0 のとき Γ 収束することを確立する。運動方程式の枠組みとチャップマン＝エンスコ型展開を用いて、I^ǫ がマクロスコピックフラクチュエーション理論（MFT）の率関数に収束することを示し、明示的なノイズスケーリングと局所平衡構造を伴う遅い・速い系における密度のフラクチュエーティングハイドロダイナミクスの水力学的極限を確認する。

ABSTRACT

We consider extended slow-fast systems of N interacting diffusions. The typical behavior of the empirical density is described by a nonlinear McKean-Vlasov equation depending on , the scaling parameter separating the time scale of the slow variable from the time scale of the fast variable. Its atypical behavior is encapsulated in a large N Large Deviation Principle (LDP) with a rate functional. We study the $\Gamma$-convergence of as $ ightarrow$ 0 and show it converges to the rate functional appearing in the Macroscopic Fluctuations Theory (MFT) for diffusive systems.

研究の動機と目的

• 遅い・速いダイナミクスを示す N 個の相互作用する拡散過程系における経験的密度の大偏差を分析すること。
• 時間スケール分離パラメータ ǫ → 0 のとき、大偏差原理（LDP）の率関数 I^ǫ の漸近的挙動を理解すること。
• フラクチュエーティングハイドロダイナミクスとマクロスコピックフラクチュエーション理論（MFT）の間の厳密な関係を Γ 収束を用いて確立すること。
• N → ∞ および ǫ → 0 の同時極限下で、微視的確率モデルから MFT 型ダイナミクスがどのように出現するかを正当化すること。
• 局所平衡とノイズスケーリングの役割を、フラクチュエーティングハイドロダイナミクス極限において形式化すること。

提案手法

• 遅い（q_i）および速い（θ_i）変数を用いたストラトノビッチ型 SDE を用いて、経験的密度 f^ǫ_N のための運動方程式を定式化する。
• f^ǫ_N に対する大偏差原理（LDP）を導出し、率関数 I^ǫ_T を得る。この関数は g ≡ f^ǫ(·, tǫ⁻²) のとき消える。
• H⁻¹ 範囲と局所平衡状態への射影作用素を用いて、Γ 収束を適用し、ǫ → 0 のときの I^ǫ_T の極限を調べる。
• フラクチュエーティング運動方程式に対するチャップマン＝エンスコ展開を実行し、遅い・速いダイナミクスを分離し、(ǫN)⁻¹/² 階のノイズ項を導入する。
• 線形化作用素 L_G と射影 Π_G を用いて、密度を局所平衡成分と非平衡成分に分解する。
• 遅い多様体への射影と一次のノイズ寄与項の保持により、マクロな密度 ˜ρ^ǫ_0 に対するフラクチュエーティングハイドロダイナミクス方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間スケール分離 ǫ → 0 のとき、大偏差率関数 I^ǫ_T はどのように振る舞うか？
• RQ2 ǫ → 0 のときの I^ǫ_T の Γ 極限が、拡散系におけるマクロスコピックフラクチュエーション理論（MFT）の率関数を回復するか？
• RQ3 局所平衡測度 G(θ) は、極限におけるフラクチュエーティングハイドロダイナミクス方程式において果たす役割は何か？
• RQ4 速い自由度からのフラクチュエーションは、有効なマクロスコピックダイナミクスにどのように寄与するか？
• RQ5 ノイズスケーリングを伴うチャップマン＝エンスコ型展開を用いて、微視的 SDE からフラクチュエーティングハイドロダイナミクス方程式を厳密に導出可能か？

主な発見

• 率関数 I^ǫ_T は ǫ → 0 のとき、I_T に Γ 収束する。I_T の有限値は、G が速い多様体上での一意な定常測度であるとき、g(q,θ,t) = ρ(q,t)G(θ) の形の密度にのみ支持される。
• 極限率関数 I_T は、拡散系に対して MFT が予測するものと完全に一致する。
• マクロな密度 ˜ρ^ǫ_0 に対するフラクチュエーティングハイドロダイナミクス方程式は、∂t˜ρ^ǫ_0 + 〈V〉_G·∇˜ρ^ǫ_0 = ǫ∇·D∇˜ρ^ǫ_0 + √(2ǫ/N)∇·(√(Γ˜ρ^ǫ_0)σζ) + o(1) として導出される。ここで ζ はガウス白色ノイズである。
• ノイズ項は、元の乗法的ノイズの (ǫN)⁻¹/² スケーリングに起因し、極限でもその構造が保存される。
• 有効な拡散テンソル D は、D = ∫ dθ (Vω)(θ) ⊗ (Vω)(θ) G(θ) dθ で与えられ、MFT と整合的である。
• 導出結果により、一次の水力学的方程式はノイズの影響を受けないが、フラクチュエーション構造は二次の補正項に捉えられることが確認された。