[論文レビュー] Gamma factors for Asai representations of ${ m GL}_2$

Shih-Yu Chen, Cheng Yao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二次拡張 E/F 上の GL₂ の Asai 表現のガンマ因子が、局所 zeta 積分（ランキン・セルバーグおよびピアテツキ＝シャポロ＝ラリス）およびワイエル・デリーニュ表現とどのように関係するかを明示的な公式で確立する。L-因子および ε-因子が zeta 積分から得られるものとラングランズパラメータ化から得られるものとが一致することを証明し、中心的特徴、ノルム特徴、およびラングランズ定数 λE/F(ψ) を含む正確な ε-因子の恒等式を示し、実および非実数の場合の n=1 および n=2 に対して理論を完成させる。

ABSTRACT

Let $E$ be a quadratic semisimple extension of a local field $F$ of characteristic zero. We determine explicit relation between gamma factors for Asai representations of $R_{E/F}{ m GL}_{2/E}$ defined by the Weil-Deligne representations and local zeta integrals. When $E = F imes F$, the results were due to Henniart and Jacquet. We completed the theory in this article based on explicit calculation.

研究の動機と目的

• zeta 積分による因子とワイエル・デリーニュ表現による因子を比較することにより、二次拡張 E/F 上の GL₂ の Asai 表現のガンマ因子理論を完成させること。
• E が体（F×F でない）であり、F が実または非実数の場合を扱い、ヘニアルト、ジャケ、その他の研究者による先行結果を拡張すること。
• 中心的特徴、ノルム特徴、およびラングランズ定数 λE/F(ψ) を含む正確な ε-因子の公式を確立すること。これは p-進 L-関数の構成に不可欠である。
• s=1/2 における ε-因子を用いた、GL₂(F) 上の三重線形形式の二分法的基準を証明すること。
• イチノの公式と局所周期積分を用いて、ねじれ三重積 p-進 L-関数の明示的補間公式を提供すること。

提案手法

• 著者たちは局所ラングランズ対応を用い、GL₂(E) の既約適切表現 π および GLₙ(F) の表現 τ に対してワイエル・デリーニュパラメータを関連づけ、テンソル表現 (r∘ϕπ)⊗ϕτ を構成する。
• n=1 の場合、ランキン・セルバーグ zeta 積分 LRS(s, Asπ⊗τ) および εRS(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ) を、ガロア L-および ε-因子 LGal(s, Asπ⊗τ) および εGal(s, Asπ⊗τ,ψ) と比較する。
• n=2 の場合、ピアテツキ＝シャポロ＝ラリス zeta 積分 LPSR(s, Asπ⊗τ) および εPSR(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ) を用い、π および τ が一般的であり、τ が主系列の商であると仮定する。
• 実および非実数の場合の両方で明示的計算を行い、zeta 積分の関数等式と GL₂-不変汎関数の一意性を用いてガンマ因子を同定する。
• 関数等式 Z(M*f(s),W) = γRS(s,Asπ,ψ,ξ)Z(f(s),W) を導出し、既知の L-関数正規化を用いてガンマ因子を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL₂(E) の Asai 表現に対する局所 L-および ε-因子が、zeta 積分によって定義されたものと、ワイエル・デリーニュパラメータ化から得られるものとの間には、どのような関係があるか？
• RQ2 n=1 の場合に、zeta 積分から得られる ε-因子とガロア ε-因子の正確な関係は何か？
• RQ3 n=2 の場合のねじれガンマ因子の明示的公式は何か？ また、ガロア因子および中心的特徴とどのように関係するか？
• RQ4 π⊗τ 上に非自明な GL₂(F)-不変三重線形形式が存在するための条件は何か？ また、s=1/2 における ε-因子とどのように関係するか？
• RQ5 これらの局所因子の恒等式は、どのようにしてねじれ三重積 p-進 L-関数の構成と補間に利用できるか？

主な発見

• n=1 かつ π が一般的である場合、ランキン・セルバーグ L-因子 LRS(s, Asπ⊗τ) はガロア L-因子 LGal(s, Asπ⊗τ) に等しい。
• ランキン・セルバーグ ε-因子は、εRS(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ) = ωπ(ξ)ωτ(ξ²)|ξ²|_F^{s−1/2}λE/F(ψ)⁻¹εGal(s, Asπ⊗τ,ψ) を満たし、二つの因子化を明示的に関連づける。
• n=2 の場合、ピアテツキ＝シャポロ＝ラリスのガンマ因子は、γPSR(s, Asπ⊗τ,ψ,ξ) = ω(4ξ²)⁻¹|4ξ²|_F^{−2s+1}ωE/F(−1)γGal(s, Asπ⊗τ,ψ) を満たし、ω = ωπ|F×·ωτ である。
• 二分法的基準が成立する：HomGL₂(F)(π⊗τ,ℂ) ≠ 0 であるための必要十分条件は、ωE/F(−1)εGal(1/2, Asπ⊗τ) = 1 である。
• これらの結果は、ねじれ三重積 p-進 L-関数を構成するために不可欠であり、イチノの公式における局所周期積分の非消滅性および良好な p-進性を裏付ける。
• zeta 積分の関数等式は、GL₂-不変汎関数の一意性と、移行作用素 M* の明示的計算を用いて証明された。