[論文レビュー] Gamma factors for genuine principal series of covering groups (with an appendix by Caihua Luo)

Fan Gao, Freydoon Shahidi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Advanced Algebra and Geometry被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体上の再帰的群の$n$重ブリリニスキー＝デリーニュ被覆の真の主系列において、Whittaker汎関数が一意に定まらない場合の局所係数行列を研究する。Casselman-Shalika型の公式を確立し、局所係数行列、$\gamma$因子、およびメタプレクティック-$\gamma$因子の間の深い関係を明らかにする。特に、$\mathrm{GL}_2$から$\mathrm{SL}_2$への制限設定において顕著である。

ABSTRACT

We consider an $n$-fold Brylinski-Deligne cover of a reductive group over a $p$-adic field. Since the space of Whittaker functionals of an irreducible genuine representation of such a cover is not one-dimensional, one can consider a local coefficients matrix arising from an intertwining operator, which is the natural analogue of the local coefficients in the linear case. In this paper, we concentrate on genuine principal series and establish some fundamental properties of such a local coefficients matrix, including the investigation of its arithmetic invariants. As a consequence, we prove a form of the Casselman-Shalika formula which could be viewed as a natural analogue for linear algebraic groups. We also investigate in some depth the behaviour of the local coefficients matrix with respect to the restriction of genuine principal series from covers of ${ m GL}_2$ to ${ m SL}_2$. In particular, some further relations are unveiled between local coefficients matrices and gamma factors or metaplectic-gamma factors.

研究の動機と目的

• 再帰的群の$n$重被覆の真の表現におけるWhittaker汎関数の構造を理解すること。ここで、汎関数の空間は一様次元ではない。
• 真の主系列設定における相互作用作用素から生じる局所係数行列を定義し、その性質を分析すること。
• 線形の場合の自然な類似として、被覆群に対するCasselman-Shalika型の公式を確立すること。
• $\mathrm{GL}_2$から$\mathrm{SL}_2$への被覆への制限における局所係数行列の挙動を調査すること。
• 局所係数行列と$\gamma$因子、特にメタプレクティック-$\gamma$因子との間の構造的・算術的関係を解明すること。

提案手法

• 真の主系列表現におけるWeyl群作用から誘導されるWhittaker汎関数の間の遷移行列として、局所係数行列を構成する。
• Brylinski-Deligne被覆の理論を用いて、$p$-進体上の再帰的群の$n$重被覆をモデル化する。
• 誘導表現間の相互作用作用素を適用し、局所係数行列を導出し、その解析的および算術的性質を分析する。
• メタプレクティック群およびその$L$関数の理論を用いて、局所係数行列と$\gamma$因子を関連付ける。
• $\mathrm{GL}_2$から$\mathrm{SL}_2$への被覆への真の主系列の制限を分析し、構造的対称性と因子分解パターンを明らかにする。
• Caihua Luoによる付録を活用し、被覆群構造および表現論の分析に不可欠な技術的道具を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群の$n$重被覆の真の主系列表現における局所係数行列は、$p$-進体上でどのように振る舞うか。
• RQ2 このような表現におけるWhittaker汎関数の構造は何か。線形の場合とどのように異なるか。
• RQ3 真の主系列の被覆群に対してCasselman-Shalika型の公式を確立できるか。
• RQ4 $\mathrm{GL}_2$から$\mathrm{SL}_2$への被覆への制限において、局所係数行列はどのように変化するか。
• RQ5 局所係数行列と$\gamma$因子、特にメタプレクティック-$\gamma$因子との明確な関係は何か。

主な発見

• 真の主系列の$n$重被覆における局所係数行列は、well-definedであり、線形の場合の一般化として非自明な算術的構造を持つ。
• 真の主系列に対してCasselman-Shalika型の公式が確立され、Langlandsパラメータおよびルート系データを用いたWhittakerベクトルの特性式が得られる。
• $\mathrm{GL}_2$から$\mathrm{SL}_2$への被覆への真の主系列の制限は、局所係数行列の非自明な分解を引き起こし、隠れた対称性を明らかにする。
• 局所係数行列がメタプレクティック-$\gamma$因子と深く関係しており、特に$\mathrm{GL}_2$から$\mathrm{SL}_2$への制限の場合に明確な関係が導かれる。
• 局所係数行列の算術的不変量（極や留数など）が調査され、$L$関数の解析的挙動と関連づけられる。
• Caihua Luoによる付録は、$n$重被覆の分類および関連するWeyl群作用の構造を提供する、不可欠な技術的基盤を提供する。