[論文レビュー] Gamma kernel estimation of multivariate density and its derivative on the nonnegative semi-axis by dependent data

L. A. Markovich|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、強い混合条件下における従属データを用いて、非負半軸上での多次元確率密度関数およびその偏導関数のガンマカーネルに基づく非パラメトリック推定量を提案する。漸近的バイアス、分散、共分散を導出し、平均統合二乗誤差（MISE）のレート $ n^{-4/7} $ を達成する最適バンド幅を確立した。これは、独立データ下での対称カーネルの最適レートと一致するが、$[0,\infty)^d$ 上の非対称で境界に強いガンマカーネルに適応したものである。この手法は境界バイアスと従属観測を効果的に処理でき、収束性およびバンド幅選択に関する理論的保証を有する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the nonparametric estimation of the multivariate probability density function and its partial derivative with a support on $[0,\infty)$. To this end we use the class of kernel estimators with asymmetric gamma kernel functions. The gamma kernels are nonnegative. They change their shape depending on the position on the semi-axis and are robust to the boundary bias problem. We investigate the mean integrated squared error (MISE) assuming dependent data with strong mixing and find the optimal bandwidth of the kernel as a minimum of the MISE. We derive the bias, the variance and the covariance of the density and of its partial derivative.

研究の動機と目的

• 非負半軸にサポートを持つ多次元データの非パラメトリック密度および導関数推定量を開発すること。標準的な対称カーネルは境界バイアスに苦しむ。
• 従来、単変量または i.i.d. 情報に限られていたガンマカーネル推定を、強い混合条件下における多次元・従属データに拡張すること。
• 弱い従属性の下で、ガンマカーネル密度およびその導関数推定量の漸近的バイアス、分散、共分散を導出すること。
• 密度および導関数推定における平均統合二乗誤差（MISE）を最小化する最適バンド幅を特定すること。
• 導関数推定量の MISE の収束の最適レートを確立すること。これは、独立データ下での既知の最適レートと一致する。

提案手法

• 各周辺カーネルが評価点に依存する形状母数を持つガンマ密度からなる、$[0,\infty)^d$ 上の多次元密度の積カーネル推定量を用いる。
• ガンマカーネルの固有の非負性および形状の適応性を活かし、$x=0$ での境界バイアスを反射や変換なしに低減する。
• 強い混合従属性の下で、密度およびその偏導関数推定量のバイアス、分散、共分散を導出する。
• モーメントの上限と混合係数 $\alpha(k)$ を用いて依存構造を制御し、MISE の漸近的挙動を導出する。
• 共役指数 $p,q$ および $r = p/(p-1)$ を用いた $L^p$-ノルム不等式を適用し、異なる時遅れにおけるカーネル関数の共分散を評価する。
• バイアスと分散の項をバランスさせることで MISE を最小化し、導関数推定量の最適バンド幅が $n^{-2/7}$ のオーダーであることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い混合条件下における従属データのもとで、ガンマカーネル推定量は $[0,\infty)^d$ 上の多次元密度推定における境界バイアスを効果的に低減できるか？
• RQ2 強い混合下で、多次元密度およびその偏導関数のガンマカーネル推定量の漸近的バイアス、分散、共分散は何か？
• RQ3 従属データ下で、導関数推定量の MISE を最小化する最適バンド幅選択則は何か？
• RQ4 依存性が存在するにもかかわらず、導関数推定量の MISE は i.i.d. 情報下での既知の最適レート $n^{-4/7}$ を達成するか？
• RQ5 共役指数 $p,q,r$ の選択が、依存性下での収束速度および MISE の上限に与える影響は何か？

主な発見

• 元の密度が $f''(0) = 0$ を満たす、すなわち指数分布やガンマ分布族に属する場合、ガンマカーネル推定量は境界バイアスがゼロになる。
• 導関数推定量の最適バンド幅は $n^{-2/7}$ のオーダーであり、これにより最適 MISE レート $n^{-4/7}$ を達成する。これは、i.i.d. 条件下での対称カーネルの既知の最適レートと一致する。
• 導関数推定量の分散は $b^{-d/2}/n$ のオーダーであり、バイアスは $b$ および $b^2$ のオーダーである。
• 共分散項は分散より遅く減少するが、そのオーダーが低いため、MISE 最適化において無視可能であることが示された。
• MISE の上限には強い混合係数 $\alpha(\tau)$ が含まれており、漸近的結果が成り立つためには $\int_1^\infty \alpha(\tau)^\upsilon d\tau$ が有限でなければならない。
• 最終的な MISE の上限は、二乗バイアスと分散の和を最小化することで導出され、最適バンド幅は $b \sim n^{-2/7}$ を満たす。