[論文レビュー] Gamow vectors and Supersymmetric Quantum Mechanics

Óscar Rosas-Ortiz|ArXiv.org|Oct 13, 2008

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、複素固有値を伴う非エルミートハミルトニアンの固有状態たるガモフベクトルを用いて、自己随伴ハミルトニアンを新たな非エルミート作用素に変換する、新しい超対称量子力学的手法を提案する。得られるハミルトニアンは、純粋に実数の離散固有値スペクトル、または1つの平方可積分な複素固有値を含む実数スペクトルを示し、共振状態や崩壊系を研究するための、非擬似エルミート的でもなく、非複素スケーリングでもない新しいクラスの非エルミートハミルトニアンを提供する。

ABSTRACT

Gamow solutions are used to transform self-adjoint energy operators by means of factorization (supersymmetric) techniques. The transformed non-hermitian operators admit a discrete real spectrum which is occasionally extended by a single complex eigenvalue associated to normalized eigensolutions. These new Hamiltonians are not pseudo-hermitian operators and also differ from those obtained by means of complex-scaling transformations. As an example, Coulomb-like potentials are studied.

研究の動機と目的

• ガモフベクトルを因子化関数として用いる超対称変換手法の開発。
• 自己随伴作用素から、実数の離散スペクトルを保持する、もしくは1つの平方可積分な複素固有値を含む非エルミートハミルトニアンの構築。
• 崩壊する量子状態をモデリングするための、複素スケーリング法や擬似エルミート的手法の代替手段の提供。
• 装備付きヒルベルト空間形式を必要としない、これらの新しいハミルトニアンの数学的構造の解明。
• クーロン型ポテンシャルを用いた手法の実証的応用により、変換されたポテンシャルおよび固有状態の明示的構成の提示。

提案手法

• 複素エネルギー固有値 $ Z_G = E_G - i\Gamma_G $ を持つシュレーディンガー方程式の解たるガモフ状態を、因子化関数として使用。
• 複素版の超対称因子化法を適用：$ v_\ell(r) = V_\ell(r) - 2\frac{\omega'(r)}{\omega(r)} $、ここで $ \omega(r) $ は一般化されたガモフベクトル。
• 変換されたポテンシャル $ \omega(r) $ の構成に、逐次超幾何関数および関連するラゲルル型解を用い、特にクーロンポテンシャル $ V(r) = -2/r $ に対して有効。
• 相互作用関係 $ hB = BH $、$ HA = Ah $ を通じて非エルミートハミルトニアンを導出、ここで $ A $、$ B $ は互いに随伴であるとは限らない。
• 一般化されたガモフベクトル $ \omega(r) $ を用いて、実数固有値スペクトルと1つの複素固有値を有する非エルミートポテンシャル $ v_\ell(r) $ を生成。
• 数値的妥当性の検証として、ポテンシャル、波動関数、固有状態の振る舞いを、例えば40ボーア半径までの一連の径方向距離でプロット。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガモフベクトルを因子化関数として用いることで、実数スペクトルまたは部分的に複素スペクトルを有する非エルミートハミルトニアンを生成できるか？
• RQ2 複素スケーリング法や擬似エルミート的手法で得られるものと比較して、変換されたハミルトニアンのスペクトル的性質はどのように異なるか？
• RQ3 得られる非エルミート作用素は、実数の離散スペクトルを保ちつつ、1つの平方可積分な複素固有状態を有することができるか？
• RQ4 クーロン型系において、ガモフベクトルを用いた場合の変換されたポテンシャル $ v_\ell(r) $ の明示的形は何か？
• RQ5 この変換を繰り返し適用することで、複素固有値を複数有する高次の非エルミートハミルトニアンを生成できるか？

主な発見

• ガモフベクトルに基づく変換により、擬似エルミート的でも複素スケーリングでもない、純粋に実数の離散固有値スペクトルを有する非エルミートハミルトニアンが得られる。
• クーロンポテンシャル $ V(r) = -2/r $ に対して、実数スペクトルに1つの複素固有値 $ \epsilon = -0.2604 + i\,0.104 $（13.5 eV単位）を追加する非エルミートポテンシャル $ v_\ell(r) $ が構成可能である。
• 複素固有値に対応する固有解 $ \Psi_\epsilon(r) $ は平方可積分であり、$ r = 0.05\,r_B $ でピークを示し、$ r = 19\,r_B $ ではリング状の分布を示す。
• 一般化されたガモフベクトル $ \omega(r) $ は、逐次超幾何関数と対数的超幾何関数 $ U(a,c,z) $ の組み合わせとして表現可能であり、変換の明示的構成を可能にする。
• 本手法により得られる非エルミートポテンシャル $ v_\ell(r) $ は、複素スケーリングポテンシャル $ V_\theta(r) = e^{i2\theta}V(re^{i\theta}) $ とは等価でないため、根本的に異なる変換機構を有していることが示唆される。
• 2回目の反復により、複素共役の固有値ペア $ \epsilon $ と $ \overline{\epsilon} $ を有する非エルミートハミルトニアンが生成可能であり、スペクトルの残りの部分は実数のままである。