[論文レビュー] GAP Computations Concerning Probabilistic Generation of Finite Simple Groups

Thomas Breuer|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2007

Finite Group Theory Research参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限準単純群における確率的生成性の性質を特定するために、GAPを用いた包括的な計算を提示している。主な焦点は、非生成対の割合および特定の要素を含む極大部分群の存在に向けられている。特性表と群作用を用い、古典的および散乱的群の多くについて、固定された要素で群を生成する確率が1/3未塔であることを検証した。正確な値は置換表現およびSylow部分群の解析により計算された。

ABSTRACT

This is a collection of examples showing how the GAP system can be used to compute information about the probabilistic generation of finite almost simple groups. It includes all examples that were needed for the computational results in the paper "Probabilistic generation of finite simple groups, II" by Thomas Breuer, Robert M. Guralnick, and William M. Kantor. The purpose of this writeup is twofold. On the one hand, the computations are documented this way. On the other hand, the GAP code shown for the examples can be used as test input for automatic checking of the data and the functions used.

研究の動機と目的

• GAPを用いて、[BGK08]の有限準単純群における確率的生成性に関する計算結果を文書化および検証すること。
• 有限単純群における特性理論的および群論的計算を再現可能にするGAPコードを提供すること。
• さまざまな有限単純群および特定の要素sについて、非生成確率σ(G,s)およびP(G,s)の正確な値を計算すること。
• 特性表だけでは不十分な場合に、群作用と置換表現を組み合わせることで問題を解決すること。
• 提供されたGAPコードを用いた自動テストを通じて、正しさと再現可能性を保証すること。

提案手法

• GAPシステムを用いて、GAP特性表ライブラリから得た特性表に対する特性理論的計算を実行する。
• ノーマル化されたベクトルの軌道上の群の置換作用を用い、特性表のない群の忠実な置換表現を構成する。
• Sylow部分群の解析と共轭類代表元を用いて、固定点の数を計算し、σ(G,s)の値を導出する。
• 置換群における非生成確率の正確な計算に、RatioOfNongenerationTransPermGroup関数を用いる。
• ActionおよびStabilizer関数を用いて、極大部分群に対応する点安定化子を構成する。
• PossiblePermutationCharacters関数を用いて、可能な置換特性を同定し、部分群の極大性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限準単純群GとGの要素s ∈ Gについて、Gをsで生成する確率P(G,s)が1/3未塔となるのはどのような場合か？
• RQ2 特性表が入手できない群について、非生成確率σ(G,s)の正確な値は何か？
• RQ3 与えられた要素s（素数または特定の位数）を含む極大部分群はどれか？また、それらは生成性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 特性表が欠落している群（例：U₆(3) や U₈(2)）に対して、どのようにして置換表現を構成し、σ(G,s)を計算できるか？
• RQ5 GAP特性表ライブラリと群論的関数をどの程度組み合わせて、確率的生成に関する理論的結果を検証できるか？

主な発見

• A₅, A₆, A₇, M₁₁, M₁₂, S₆(2), U₄(2), O₇(3) について、それぞれsの位数が5, 4, 7, 11, 10, 9, 9, 14であるとき、非生成確率P(G,s)は1/3未塔である。
• A₈, A₉, A₁₁, A₁₃, A₁₅, A₁₇, A₁₉, A₂₁, A₂₃, L₃(2), L₃(3), L₃(4), L₄(3), L₄(4), L₆(2), L₆(3), L₆(4), L₆(5), L₈(2), L₁₀(2), O⁺₈(4), O⁺₁₀(2), O⁺₁₂(2), O⁺₁₂(3), O⁻₈(2), O⁻₈(3), O⁻₁₀(2), O⁻₁₀(3), O⁻₁₂(2), O⁻₁₄(2), S₄(4), S₆(3), S₆(4), S₈(3), U₃(3), U₃(5), U₄(4), U₅(2), U₆(2), U₆(3), U₈(2) について、非生成確率P(G,s)は1/3未塔である。
• U₆(3) について、σ(G,s) = 353/3159 ≈ 0.1117 であり、44226本の直線に対する置換作用とSylow部分群の解析により計算された。
• U₈(2) について、σ(G,s) = 2753/10880 ≈ 0.2531 であり、10880本の直線に対する置換表現と固定点の数から導出された。
• U₄(3).2₁ ≅ SO⁻(6,3) について、正確な非生成確率は13/27 ≈ 0.4815 であり、推移的置換表現と中心化子解析を用いて計算された。
• U₆(3) について、位数122の要素を含む唯一の極大部分群は2×U₅(3)であり、二重被覆においてGU(5,3)に引き上げられる。これにより、M(G,s)の構造が確認された。