[論文レビュー] Gap-planar Graphs

Hugo A. Akitaya, R. Inkulu+9 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Interconnection Networks and Systems参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、可視化におけるエッジのカスティングを動機として、各エッジに高々k個の交差が割り当てられる非平面的グラフであるkギャップ平面グラフを導入する。密度の上限（O(√k·n)本の辺）を厳密に確立し、1ギャップ平面グラフの認識がNP完全であることを証明するとともに、1ギャップ平面となる完全グラフおよび完全二部グラフを同定し、Kₙが1ギャップ平面であるのはn ≤ 8のときに限ることを示す。

ABSTRACT

We introduce the family of $k$-gap-planar graphs for $k \geq 0$, i.e., graphs that have a drawing in which each crossing is assigned to one of the two involved edges and each edge is assigned at most $k$ of its crossings. This definition is motivated by applications in edge casing, as a $k$-gap-planar graph can be drawn crossing-free after introducing at most $k$ local gaps per edge. We present results on the maximum density of $k$-gap-planar graphs, their relationship to other classes of beyond-planar graphs, characterization of $k$-gap-planar complete graphs, and the computational complexity of recognizing $k$-gap-planar graphs.

研究の動機と目的

• 非対称な交差割り当てを持つ、平面的でないグラフの新クラスとしてのkギャップ平面グラフを形式化し、分析すること。
• kギャップ平面グラフの最大辺密度を特定し、タイトな漸近的上限を確立すること。
• どの完全グラフおよび完全二部グラフが1ギャップ平面であるかを同定すること。
• kギャップ平面グラフの認識問題の計算量的複雑性を調査すること。
• kギャップ平面グラフと他の平面的でないグラフ族（例：k平面グラフ、準平面グラフ）との関係を調査すること。

提案手法

• 各交差を関与する2つのエッジの一方に割り当て、各エッジが高々k個の交差を持つようにすることで、kギャップ平面グラフを提唱する。
• 極値的グラフ理論および平面化技術を用いて、辺密度の上界を導出する。
• ハルの条件の応用を拡張し、交差に関するマッチング条件を用いてkギャップ平面グラフを同定する。
• 3分割問題からのNP完全性還元を用いて、回転系が固定されていても認識問題がNP完全であることを証明する。
• 完全グラフおよび完全二部グラフに対して明示的な1ギャップ平面図を構築し、タイトな境界を確立する。
• 構造的および密度的議論を用いて、kギャップ平面グラフとk平面グラフ、(2k+2)準平面グラフとの関係を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n頂点を持つkギャップ平面グラフの最大辺数は何か？ そしてこの上限をさらにタイトにできるか？
• RQ2 どの完全グラフKnが1ギャップ平面であるか？ その最大のnは何か？
• RQ3 回転系が固定されていても、1ギャップ平面グラフの認識問題はNP完全か？
• RQ4 kギャップ平面グラフは、k平面グラフや準平面グラフといった他の平面的でないグラフ族とどのように関係しているか？
• RQ5 1ギャップ平面グラフは、わずかな曲がり数のRAC図を許容するか？ また、ファン平面グラフとはどのような関係にあるか？

主な発見

• n頂点を持つkギャップ平面グラフはO(√k·n)本の辺を持つが、この上限は定数倍の誤差の範囲でタイトである。
• k=1の場合、1ギャップ平面マルチグラフは最大で5n−10本の辺を持つことができ、n≥20のすべてのnに対してこの上限はタイトである。
• 完全グラフKnは、n≤8のときに限り1ギャップ平面である。
• 完全二部グラフK₅,₆は1ギャップ平面図を許容するが、K₅,₇は交差数の制約により許容されない。
• 1ギャップ平面グラフの認識は、回転系が固定されていてもNP完全である。
• 2k平面グラフのクラスは、kギャップ平面グラフのクラスに真に含まれており、kギャップ平面グラフのクラスは(2k+2)準平面グラフのクラスに真に含まれる。