[論文レビュー] Gap theorem on Kähler manifold with nonnegative orthogonal bisectional curvature

Lei Ni, Yanyan Niu|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非負の直交双正接曲率と非負のリッチ曲率をもつ完備非コンパクトケーラー多様体について、スカラー曲率が十分に速く平均的に減少するならば、その多様体は平坦であることを示すギャップ定理を確立する。また、これらの曲率条件下で、シュレーディンガー型関数に対するリウヴィルの定理を証明し、従来の結果を一般化する。この一般化は、非負の双正接曲率から非負の直交双正接曲率への曲率仮定の緩和を含む。

ABSTRACT

In this paper we prove a gap theorem for Kähler manifolds with nonnegative orthogonal bisectional curvature and nonnegative Ricci curvature, which generalizes an earlier result of the first author. We also prove a Liouville theorem for plurisubharmonic functions on such a manifolds, which generalizes a previous result of L.-F. Tam and the first author.

研究の動機と目的

• 非負の双正接曲率から、より弱い条件である非負の直交双正接曲率へのケーラー多様体のギャップ定理の一般化を図ること。
• 非負の正則双正接曲率から非負の直交双正接曲率への、シュレーディンガー型関数に対するリウヴィルの定理の拡張を図ること。
• ポincare-Lelong方程式の解を通じて、スカラー曲率の減少と曲率の消滅との間の関係を確立すること。
• 非負の直交双正接曲率（NOB）が非負の双正接曲率よりも厳密に弱く、非負の二次的直交双正接曲率よりも強いことを示すこと。
• 非負の直交双正接曲率と非負のリッチ曲率をもつが、非負の双正接曲率をもたないケーラー計量の明示的例を構成すること。

提案手法

• (1,1)-形式上のホッジラプラシアンの熱流を用い、リッチ形式を発展させ、解の漸近的挙動を研究する。
• [11] および [13] の単調性公式を応用し、直交双正接曲率の非負性を証明に活用する。
• スカラー曲率のノルムに関する積分的減少条件に依存し、熱流を用いて最適な解を構成するポincare-Lelong方程式を用いる。
• 放物型法と部分的最大原理を用い、曲率制約下でのシュレーディンガー型関数の成長を制御する。
• U(n)-不変計量をもつ径方向モデルを用い、非負の直交双正接曲率およびリッチ曲率の必要十分条件を導出する。
• 体積成長と曲率減少を含む積分不等式を用いて、曲率成分の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の直交双正接曲率と非負のリッチ曲率の下で、平坦性に関するギャップ定理は成り立つか？
• RQ2 非負の正則双正接曲率から非負の直交双正接曲率への、シュレーディンガー型関数に対するリウヴィルの定理の拡張は可能か？
• RQ3 非負の直交双正接曲率と非負の双正接曲率の間の、曲率減少および幾何的剛性の観点からの正確な関係は何か？
• RQ4 非負の直交双正接曲率と非負のリッチ曲率をもつが、非負の双正接曲率をもたないケーラー計量の明示的例を構成できるか？
• RQ5 ギャップ定理において、スカラー曲率の積分的減少条件と曲率の消滅との関係は何か？

主な発見

• 完備非コンパクトケーラー多様体が非負の直交双正接曲率と非負のリッチ曲率をもつとき、平均スカラー曲率が o(r⁻²) の速度で減少するならば、ギャップ定理が成り立つ。
• シュレーディンガー型関数に対するリウヴィルの定理が確立された：u が連続で、lim_{x→∞} u(x)/log r(x) = 0 を満たすならば、非負の直交双正接曲率と非負のリッチ曲率の下で、u は定数関数である。
• ノルムが f である (1,1)-形式 ρ に対するポincare-Lelong方程式の解は、k_f(r) の積分を含む点ごとの推定を満たし、次元および ε に依存する明示的な定数を含む。
• ℂⁿ 上の U(n)-不変ケーラー計量に関して、非負の直交双正接曲率および非負のリッチ曲率は、A+C≥0、A+(n−1)B≥0、B≥0、C≥0 であることに同値である。
• 本稿では、非負の直交双正接曲率が非負の双正接曲率よりも厳密に弱く、非負の二次的直交双正接曲率よりも強いことを示す例を構成した。
• [7] の補題 4.3(ii) の証明を簡略化し、関数 B(r) の解析を精緻化し、曲率条件の下で十分大きな r に対して B(r) が正のままであることを示した。