[論文レビュー] Gapped Phases in (2+1)d with Non-Invertible Symmetries: Part I

Lakshya Bhardwaj, Daniel Pajer+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2024

Liquid Crystal Research Advancements被引用数 6

ひとこと要約

この論文は Symmetry Topological Field Theory (SymTFT) を用いて (2+1)d における bosonic-type fusion 2-category symmetries を持つギapped 相を分類し、非ミニマル境界条件の無限ファミリーとそれに対応するギapped 相を明らかにし、G = Z2 の例と一般の abelian 群で実証する。

ABSTRACT

We use the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT) to study and classify gapped phases in (2+1)d for a class of categorical symmetries, referred to as being of bosonic type. The SymTFTs for these symmetries are given by twisted and untwisted (3+1)d Dijkgraaf-Witten (DW) theories for finite groups G. A finite set of boundary conditions (BCs) of these DW theories is well-known: these simply involve imposing Dirichlet and Neumann conditions on the (3+1)d gauge fields. We refer to these as minimal BCs. The key new observation here is that for each DW theory, there exists an infinite number of other BCs, that we call non-minimal BCs. These non-minimal BCs are all obtained by a 'theta construction', which involves stacking the Dirichlet BC with 3d TFTs having G 0-form symmetry, and gauging the diagonal G symmetry. On the one hand, using the non-minimal BCs as symmetry BCs gives rise to an infinite number of non-invertible symmetries having the same SymTFT, while on the other hand, using the non-minimal BCs as physical BCs in the sandwich construction gives rise to an infinite number of (2+1)d gapped phases for each such non-invertible symmetry. Our analysis is thoroughly exemplified for G = $\mathbb{Z_2}$ and more generally any finite abelian group, for which the resulting non-invertible symmetries and their gapped phases already reveal an immensely rich structure.

研究の動機と目的

• bosonic-type fusion 2-category symmetries を持つ (2+1)d のギapped 相を特徴づけ、分類する。
• (3+1)d Dijkgraaf–Witten theories が無限に多くのギapped boundary conditions を許すことを示す（non-minimal BCs）。
• non-minimal BCs が theta constructions を介して、同じ SymTFT を共有する非可逆対称性の無限ファミリを生み出すことを示す。
• G = Z2 および一般の abelian 群に対する具体的な解析を提供し、非可逆対称性と対応する相の構造を明らかにする。

提案手法

• 有限群 G に対して (3+1)d DW 理論に対して SymTFT フレームワークを適用する。
• ギapped boundary conditions を minimal (Dirichlet/Neumann) と non-minimal (Dirichlet/Neumann を 3d TFTs とダイアゴナルのゲージで積み上げて gauging) として分類する。
• theta-constructions を用いて、積み重ねた 3d TFTs を対角ゲージと結合させることで non-minimal BCs を生成する。
• bosonic-type symmetries に対する Drinfeld center Z( S ) を Z(2Vec_G^τ) として記述し、topological defects をそれに応じて整理する。
• サンドイッチ（ interval compactification ）アプローチによって境界条件と結果として生じる (2+1)d ギapped 相を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 fusion 2-category bosonic-type symmetries が (3+1)d DW 理論の境界データとしてどのように実現されるか？
• RQ2 (3+1)d Z2 DW 理論の全てのギapped boundary conditions（non-minimal 含む）は何か？
• RQ3 non-minimal BCs はどのようにして non-invertible symmetries と (2+1)d の無限のギapped 相を生み出すか？
• RQ4 abalian 群 G の場合のギapped 相の構造はどうなっており、theta-construction はそれにどう影響するか？

主な発見

• 各 (3+1)d DW 理論について、熟知された Dirichlet/Neumann の minimal BCs を超えて無限の non-minimal ギapped boundary conditions が存在する。
• non-minimal BCs は Dirichlet BC を 3d TFT の積み上げと対角 G symmetry の gauging によって得られる（theta construction）。
• 同じ SymTFT（G の DW 理論）は、 symmetry boundaries に現れる非可逆対称性の無限ファミリを生み出す。
• G = Z2 および一般のアーベル G に対して、非可逆対称性の豊かな構造と対応する (2+1)d ギapped 相を論文は具体的に示す。
• 解析は SymTFT フレームワークでトップロジカル欠陥と境界データを整理する Drinfeld center Z( S ) = Z(2Vec_G^τ) を用いる。
• 結果は (2+1)d の対称相を分類する高階カテゴリ Landau 的パラダイム（SymTFT）を支持する。