[論文レビュー] Gaps between Primes in Beatty Sequences

Roger C. Baker, Liangyi Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、メイナードの素数の有界ギャップに関する手法を、$\alpha > 1$ が無理数であるときのベアシー列 $[\alpha n + \beta]$ に応用し、その中での素数の有界ギャップの存在を証明する。$\alpha$ がディオファントス的条件を満たす場合、任意の $t \geq 2$ に対して、$[N, 2N)$ の中で $[\alpha n + \beta]$ の形をした $t$ 個の素数が存在し、そのギャップの直径は $\ll \alpha(\log\alpha + t)\exp(7.743t)$ であることを示す。この結果は、ベアシー列におけるボンビエリ–ビノグラドフ型の誤差推定を用いて、張とメイナードの有界ギャップ結果をスパースな列へ拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we study the gaps between primes in Beatty sequences following the methods in the recent breakthrough of J. Maynard.

研究の動機と目的

• 無理数 $\alpha > 1$ に対して、メイナードの有界ギャップ結果をベアシー列 $[\alpha n + \beta]$ における素数へ拡張すること。
• そのような列における $t$ 個の素数のクラスタの直径に対する明示的上界を確立すること。
• スイーブ法における誤差制御を可能にする、ベアシー列における指数和に対するボンビエリ–ビノグラドフ型推定式を構築すること。
• Diophantine 条件を満たす $\alpha$ に対して、有界ギャップを持つ $t$ 個の素数の組が無限に存在することを証明すること。

提案手法

• 算術級数における分布が制御可能な適切なスイーブ重み系を構築することで、メイナードの多次元スイーブ法をベアシー列の設定に適応する。
• 指数和に関する新しいボンビエリ–ビノグラドフ型推定式（定理4）を導入し、形の誤差項 $\sum_{n \equiv a \pmod{q}, \gamma n \in I \bmod{1}} \Lambda(n) - \frac{(N-N')|I|}{\varphi(q)}$ を制御する。
• シーゲル–ワルフィスの定理と指標和推定式（ポリア–ビノグラドフおよび大スイーブ技術を用いて）を用いて、$N^{2/7 - \varepsilon}$ までのモジュラスを持つ算術級数における誤差項を制御する。
• 大スイーブと $L^2$-モーメント推定式を用いて、重み関数の $L^2$-ノルムを制御し、スイーブ関数が正であることを保証する。
• 双対問題を扱うために、スイーブ重みの五項分解（$s=5$）を採用し、誤差項におけるキャンセルを可能にする。
• 区間 $[M, 2M]$ における指標和をバインドするための新しい $L^2$-モーメント推定式（補題19）を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メイナードの有界ギャップ手法は、ベアシー列 $[\alpha n + \beta]$ のようなスパースな列へ拡張可能か？
• RQ2 Diophantine 条件を満たす $\alpha$ に対して、ベアシー列における $t$ 個の素数の組の直径に明示的な上界を与えることができるか？
• RQ3 無理数 $\alpha$ を持つベアシー列における指数和に対して、ボンビエリ–ビノグラドフ定理をどのように適応できるか？
• RQ4 ギャップの直径が $t$、$\alpha$、および $\alpha$ のディオファントス型に依存する最適な依存関係は何か？
• RQ5 この手法により、適切な無理性条件のもとで、ベアシー列における $t$ 個の素数の組の正の密度が得られるか？

主な発見

• 任意の $t \geq 2$ に対して、$\alpha > 1$ が無理数であり、すべての $r \in \mathbb{N}$ に対して $\|\gamma r\| \gg r^{-3}$ を満たすとき、$[N, 2N)$ の中で $[\alpha n + \beta]$ の形をした $t$ 個の素数が存在し、その直径は $\ll \alpha(\log\alpha + t)\exp(7.743t)$ である。ここで $\gamma = \alpha^{-1}$ である。
• スイーブ重みと $L^2$-モーメント推定式の精密な解析により、元のメイナードの結果における $8t$ の上界から、指数部の定数が $7.743t$ に改善された。
• 同じディオファントス的条件のもとで、ベアシー列における指数和に対する新しいボンビエリ–ビノグラドフ型推定式（定理4）が確立され、誤差項が $O(N \mathcal{L}^{-A})$（任意の $A > 0$）で有界であることが示された。
• この手法により、有限型の無理数 $\alpha$ に対して、ベアシー列 $[\alpha n + \beta]$ における $t$ 個の素数の組の正の下界密度が得られるが、この場合の明示的定数は与えられていない。
• スイーブ不等式における定数 $b$ の下界が $b > 0.90411$ であることが示され、これはスイーブ関数の正の性質を保証し、有界ギャップを持つ $t$ 個の素数の組の構成を可能にする。
• 直径の上界は有効的かつ明示的であり、定数 $C_4$ は絶対的であり、すべての $N > C_1(t, \alpha, \beta)$ に対して結果が成り立つ。