[論文レビュー] GAPS: Generator for Automatic Polynomial Solvers

Bo Li, Viktor Larsson|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

GAPS は、有限体上でのグレブナー基底構造を事前に計算することにより、コンピュータビジョン分野における多項式系の自動ソルバ生成を向上させるソフトウェアフレームワークである。これにより、線形代数を用いた効率的なオンラインソリューションが可能となる。autogen よりも使いやすさ、安定性、機能性に優れ、記号計算と係数テンプレートの再利用を通じて、最小問題の高パフォーマンスなソルバを迅速に生成できる。

ABSTRACT

Minimal problems in computer vision raise the demand of generating efficient automatic solvers for polynomial equation systems. Given a polynomial system repeated with different coefficient instances, the traditional Gröbner basis or normal form based solution is very inefficient. Fortunately the Gröbner basis of a same polynomial system with different coefficients is found to share consistent inner structure. By precomputing such structures offline, Gröbner basis as well as the polynomial system solutions can be solved automatically and efficiently online. In the past decade, several tools have been released to generate automatic solvers for a general minimal problems. The most recent tool autogen from Larsson et al. is a representative of these tools with state-of-the-art performance in solver efficiency. GAPS wraps and improves autogen with more user-friendly interface, more functionality and better stability. We demonstrate in this report the main approach and enhancement features of GAPS. A short tutorial of the software is also included.

研究の動機と目的

• コンピュータビジョン分野における係数が変化する繰り返しの多項式系に対して、従来のグレブナー基底計算の非効率性を解消すること。
• autogen や Automatic Generator などの既存ツールを改善し、使いやすさ、安定性、機能性を向上させること。
• 有限体算術を用いて、オフラインで構造的不変量を事前計算することで、多項式系の効率的なオンラインソリューションを実現すること。
• コンピュータビジョン分野の最小問題用の自動ソルバ生成を可能にする、使いやすく拡張可能なフレームワークを提供すること。
• 有限体および実係数インスタンスの両方に対応する記号的および数値的インターフェースを通じた柔軟な問題定義を可能とすること。

提案手法

• 数値的不安定性を回避するため、多項式系を有限素体 $\mathbb{Z}_p$ でインスタンス化することで、グレブナー基底構造を事前に計算する。
• 複数の $\mathbb{Z}_p$ インスタンスにおいてランダム係数サンプリングを行い、正規形に現れる単項式の集合を統合することで、元の系の完全な構造を推定する。
• 多項式の組み合わせ $\tilde{F} = \{m \cdot f \mid f \in F, m \in \mathsf{M}\}$ からテンプレート行列を構築する。ここで $\mathsf{M}$ は事前に計算された単項式の集合である。
• テンプレート行列に簡約行階段形（RREF）を適用し、非ゼロ行としてグレブナー基底を抽出する。
• 商環 $\mathbb{K}[X]/I$ の既知の構造を活用して、固有値ベースのソリューションのための作用行列を定式化する。
• `abbr_subs` を通じてユーザー定義の置換をサポートし、係数計算の最適化と冗長な記号的式の回避を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンピュータビジョン分野における係数が変化する繰り返しの多項式系に対して、グレブナー基底計算をどのように効率的かつ安定的に実現できるか。
• RQ2 $\mathbb{Z}_p$ 上で計算されたグレブナー基底の構造的不変量が、$\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ 上の系の解法にどの程度再利用可能か。
• RQ3 autogen などの既存ツールをラップ・拡張することで、使いやすさ、安定性、機能性にどの程度の向上が達成できるか。
• RQ4 記号計算と有限体算術を、自動ソルバ生成の実用的ソフトウェアフレームワークにどのように統合できるか。
• RQ5 テンプレートベースの係数計算と置換キャッシュが、ソルバ生成のパフォーマンスに与える影響は何か。

主な発見

• GAPS は、$\mathbb{Z}_p$ 上でグレブナー基底構造を事前に計算することで、多項式系の効率的なオンラインソリューションを可能にし、オンライン計算を線形方程式系の解法に削減する。
• 複数の $\mathbb{Z}_p$ インスタンスにおける正規形の和集合は、元の系が $\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ 上にある場合でも、正規集合の完全な構造を信頼性高く回復する。
• 係数テンプレート行列に RREF を適用することで、元の体で記号的グレブナー基底計算を実施せずに、直接的にグレブナー基底を抽出できる。
• 記号的引数（`in_subs`, `out_subs`）と最適化された置換構造（`abbr_subs`）を用いた柔軟な問題モデリングが可能で、冗長な計算を削減する。
• GAPS は、4点相対姿勢問題（パラメータ化された回転と既知の値を有する）を例に、安定的かつ使いやすいインターフェースを提供し、ソルバ生成の実用性を実証している。
• ソフトウェare は、実数インスタンス生成用の `rand_arg_rl` および有限体インスタンス生成用の `rand_arg_zp` メソッドを備え、シームレスなベンチマークが可能である。