[論文レビュー] Garside and locally Garside categories

François Digne, Jean Michel|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Garsideモノイドのカテゴリカルな一般化として、左、右、局所的Garside圏を導入し、研究する。主な焦点はノネリアニティ、キャンセレーション性、および最小公倍元（lcm）または最大公約元（gci）の存在に向けられている。主な貢献は、補元とlcmに関して安定な部分圏が、元の圏の局所的Garside構造を引き継ぐことを確立したことである。これにより、同一のブレード群要素の異なる因数分解に関連するDeligne-Lusztig多様体の間の自然同型が得られ、プロジェクト型極限の構成が可能になる。

ABSTRACT

We define and give axioms for Garside and locally Garside categories. We give an application to Coxeter and Artin groups and Deligne-Lusztig varieties.

研究の動機と目的

• Garside圏の概念をモノイドを超えて形式化・一般化し、特に幾何的表現論への応用を目的とする。
• コックスター群およびブレード群作用に関連するDeligne-Lusztig多様体を理解するためのカテゴリカル枠組みの必要性に応える。
• 部分圏が補元とlcmに関して安定な場合に、その部分圏が局所的Garside構造をどのように引き継ぐかの条件を確立する。
• 同一のブレード要素の異なる因数分解に関連する多様体が自然同型であることを示し、well-definedな射影極限の構成を可能にする。

提案手法

• 左ノネリアン、左キャンセレーション、および共通の右倍元を持つ対について右lcmの存在を満たす3つの公理により、左局所的Garside圏を定義する。
• 部分圏の補元とlcmに関する安定性の概念を導入し、このような部分圏が局所的Garside性を引き継ぐことを示す。
• ノネリアン順序とアルチン順序の双対性を用いて、弱キャンセレーション条件のもとで左・右局所的Garside構造を関連付ける。
• 装飾付き系列の圏から準同型の対応する多様体への関手を構成する。
• 関手の像に属する対象間の基本的同型の合成が、経路に依存しないことを、共通の終対象に関する一様な表現を用いて証明する。
• アーティン＝ティーツモノイドを用いて、同一要素の因数分解に関連するすべての多様体が自然同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなカテゴリカルな条件下で、部分圏が周囲の圏の局所的Garside構造を引き継ぐのか？
• RQ2 カテゴリカル枠組みの中で、同一の因数分解に関連する幾何的対象の自然同型がどのように確立されるか？
• RQ3 ノネリアニティは、割り当て順序のポセットにおけるlcmやgciの存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 Deligne-Lusztig多様体の構造は、Garsideに類似た圏からの関手的構成によって一様に記述可能か？
• RQ5 アーティン＝ティーツモノイドにおける因数分解への多様体の割り当ての関手的性質の意義は何か？

主な発見

• 補元とlcmに関して安定な部分圏は、周囲の圏から左局所的Garside構造を引き継ぐ。
• 左局所的Garside圏において、同じ始対象を持つ任意の射の族は左最大公約元（gcd）を有する。このようなgcdの存在は、アルチン順序性のもとでそのクラスを特徴付ける。
• 装飾付き系列の圏から関手を介して得られる像に属する対象間の基本的同型の合成は、共通の終対象に関する一様な表現のおかげで経路に依存しない。
• アーティン＝ティーツモノイドにおいて、同一要素の異なる因数分解に関連するすべての多様体は自然同型であるため、well-definedな射影極限多様体を定義可能である。
• 多様体への関手の構成は合成と整合的であり、したがって、元の圏のモノイド構造を尊重する。
• この枠組みは、Deligne-Lusztig多様体のカテゴリカル基盤を提供し、デリーニュの先行結果を一般化するとともに、関手的性質によって拡張する。