[論文レビュー] Garside structure for the braid group of G(e,e,r)

David Bessis, Ruth Corran|ArXiv.org|Jun 11, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複素反射群 $G(e,e,r)$ のブraid群 $B(e,e,r)$ のための、新たな正で均一な表示を提示する。この表示では、反射へと写像する共役生成子を導入する。この表示を用いて、一般化されたコクセター元をガーディアン元とするガーディアン構造を確立し、ガーディアン群のアルゴリズム的性質により、$B(e,e,r)$ における語問題と共役問題が解かれる。

ABSTRACT

We give a new presentation of the braid group $B$ of the complex reflection group $G(e,e,r)$ which is positive and homogeneous, and for which the generators map to reflections in the corresponding complex reflection group. We show that this presentation gives rise to a Garside structure for $B$ with Garside element a kind of generalised Coxeter element, and hence obtain solutions to the word and conjugacy problems for $B$.

研究の動機と目的

• ブライド群 $B(e,e,r)$ の語問題と共役問題を解くという、$G(e,e,r)$ の複素反射群における未解決問題を解決すること。
• 元のBroué-Malle-Rouquier（BMR）生成子の共役であるが、反射へと写像する生成子を備えた、$B(e,e,r)$ の新たな正で均一な表示を構成すること。
• この新しい表示によって定義されるモノイドがガーディアンモノイドであることを示し、群がガーディアン群となり、語問題と共役問題が解けることを保証すること。
• 元のBMR生成子における有限で正で均一な表示が、$B(e,e,r)$ にモノイド埋め込みをもたらせないことを証明し、新しい表示の必要性を正当化すること。
• 新しい群表示がブライド群 $G(e,e,r)$ と代数的に同値であること、したがって群論的モデルとしての正しさを確認すること。

提案手法

• 生成子集合 $\mathcal{A} = \mathcal{A}_0 \cup \mathcal{A}_1$ を導入し、$0 \leq p < q < n$ に対して $a_{pq}$ および $0 \leq p < n$、$0 \leq i < e$ に対して $a_p^{(i)}$ を含む。ここで $n = r-1$ である。
• 6種類の関係、すなわちブraidに類似した関係と交換関係を含み、$n$-巡回的に順序付けられた列でパラメータ化することで、正で均一な表示を保証する。
• ガーディアンモノイド理論を用いる：左除法と右除法における取り消し可能性、ラティス構造、および左除因子と右除因子が一致しモノイドを生成するガーディアン元の存在を確認する。
• ガーディアンモノイド構造を活用し、その分数群がガーディアン群であることを導出し、語問題と共役問題の解法可能性を保証する。
• GAPによる計算的検証を用いて、完全な表示およびガーディアンモノイド公理の証明における場合分けの確認を行うが、後続の論文では幾何的アプローチが代替として挙げられている。
• 元のBMRモノイドの埋め込み不可能性を示すために、特定の無限系列の関係（例：$21^n3213 = 32132^n1$）が、元の生成子におけるいかなる有限正で均一な表示からも導出できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正で均一な表示が、定義されるモノイドが群に埋め込まれるような、ブライド群 $B(e,e,r)$ の表示を構成可能か？
• RQ2 ブライド群 $B(e,e,r)$ はガーディアン構造を備えているか？ もしそうなら、そのガーディアン元の性質は何か？
• RQ3 有限で正で均一な表示により、$B(e,e,r)$ における語問題と共役問題を解くことは可能か？
• RQ4 元のBMR表示を、有限の正で均一な関係の集合によって、群へのモノイド埋め込みをもたらすように変更可能か？
• RQ5 元のBMR生成子の共役であるが、$G(e,e,r)$ における反射へと写像する新しい生成子の代数的および幾何的意義は何か？

主な発見

• 著者らは、BMR生成子の共役であり、$G(e,e,r)$ における反射へと写像する生成子を備えた、$B(e,e,r)$ の新たな正で均一な表示を構成し、アルゴリズム的性質における長年の空白を解消した。
• この新しい表示によって定義されるモノイドは、取り消し可能であること、左除法と右除法におけるラティス構造であること、および左除因子と右除因子が一致しモノイドを生成するガーディアン元を備えるため、ガーディアンモノイドである。
• このガーディアンモノイドの分数群は $B(e,e,r)$ と同型であるため、この表示が $G(e,e,r)$ のブライド群を正しくモデル化していることが確認された。
• ガーディアン構造により、語問題と共役問題の明示的かつアルゴリズム的な解法が得られ、これらは以前は未知であった。
• 本稿では、元のBMR生成子における有限で正で均一な表示が、$B(e,e,r)$ にモノイド埋め込みをもたらせないことを証明した。これは、無限系列の関係（例：$21^n3213 = 32132^n1$）が有限に生成できないことによる。
• この構造におけるガーディアン元は、一般化されたコクセター元であり、古典的定義を複素反射設定に拡張し、群の元に対する標準的正規形を提供する。