[論文レビュー] Gauge conservation laws in higher-dimensional Chern-Simons models

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Mar 7, 2003

Topological Materials and Phenomena被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ラグランジアンがゲージ不変でないにもかかわらず、高次元のチャーン・サイモンズ（CS）ゲージ理論が、修正されたノネル・カレントのゲージ保存則を生じることを確立している。最初の変分公式とマスター恒等式を用いて、ゲージ生成子に沿ったCSラグランジアンのリーダイバティブが全微分であるとき、対応する修正されたノネル・カレントはオンシェル上で保存され、3次元での既知の結果を任意の奇数次元へ一般化する。

ABSTRACT

Being gauge non-invariant, a Chern-Simons (2k-1)-form seen as a Lagrangian of gauge theory on a (2k-1)-dimensional manifold leads to the gauge conservation law of a modified Noether current.

研究の動機と目的

• 3次元チャーン・サイモンズ理論における修正ノネル・カレントのゲージ保存則を、奇数次元多様体へ一般化すること。
• ラグランジアンがゲージ不変でないにもかかわらず、オイラー＝ラグランジュ作用素がゲージ不変である条件を分析すること。
• ラグランジアンは不変でないがオイラー＝ラグランジュ作用素がゲージ不変であるような、ファイバー束上のラグランジュ系の一般枠組みを確立すること。
• ゲージ不変な物質ラグランジアンをCS項に加えた場合に、保存則がどのように拡張されるかを示すこと。

提案手法

• 最初の変分公式を用いて、ゲージ生成子に沿ったラグランジアンのリーダイバティブを、変分的に自明な項とノネル・カレント項に分解する。
• マスター恒等式を適用し、オイラー＝ラグランジュ作用素がゲージ不変であるための必要十分条件が、ラグランジアンのリーダイバティブが変分的に自明であることであることを示す。
• 変分的自明性の条件を用いる：ラグランジアンが変分的に自明であるとは、底多様体上の (n−1) 形式の全微分に加え、閉じた n 形式であるときである。
• 接続バンドルの1次ジャンプバンドル上に、チャーン・サイモンズ (2k−1) 形式を局所ラグランジアンとして構成し、ゲージ生成子に沿ったそのリーダイバティブが全微分であることを示す。
• 標準ノネル・カレントとリーダイバティブから得られる形式との差分として修正ノネル・カレントを導出し、オンシェル上で保存量が得られることを示す。
• 3次元およびそれ以上の次元のCS理論にこの形式を適用し、CSラグランジアンとゲージ不変な物質ラグランジアンの和を含む系に対しても、保存される修正カレントを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジアンが不変でない場合でも、オイラー＝ラグランジュ作用素がゲージ不変である条件は何か？
• RQ2 ラグランジアンがゲージ不変でない高次元チャーン・サイモンズ理論に対し、ゲージ保存則を導出できるか？
• RQ3 CSラグランジアンのリーダイバティブの構造は、保存される修正ノネル・カレントの存在とどのように関係するか？
• RQ4 トランスグレッション公式は、高次元CSモデルにおけるゲージ保存則を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 ゲージ不変な物質ラグランジアンをCS項に加えた場合、保存則はどのように拡張されるか？

主な発見

• チャーン・サイモンズ (2k−1) 形式ラグランジアンのオイラー＝ラグランジュ作用素は、ラグランジアン自体がゲージ不変でないにもかかわらず、ゲージ不変である。
• ゲージ生成子に沿ったCSラグランジアンのリーダイバティブは全微分であり、具体的には $ \mathbf{L}_{J^{1}\xi_C}L_{\rm CS} = d_H\sigma $ と表され、これにより保存される修正ノネル・カレントの存在が示唆される。
• 修正ノネル・カレントは $ \overline{\mathfrak{J}} = \mathfrak{J}_u - \sigma $ と定義され、オンシェル上で $ 0 \approx d_H(\overline{\mathfrak{J}}) $ の保存則を満たす。
• 3次元では、CS項の修正ノネル・カレントが明示的に計算され、$ \overline{\mathfrak{J}}^\alpha = h a^{G}_{mn} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma} (2\partial_\beta \xi^m a^n_\gamma + c^m_{pq} a^p_\beta a^n_\gamma \xi^q) + \mathfrak{J}_{\rm inv}^\alpha $ と表され、運動方程式が成立するとき保存される。
• 純粋なCS理論および追加のゲージ不変な物質ラグランジアンを含むモデルに対しても保存則が成り立つことから、結果の頑健性が示される。
• この枠組みは、(2k−1) 次元多様体上の高次元CS理論に一般に適用可能であり、既知の3次元結果を任意の奇数次元へ拡張する。