[論文レビュー] Gauge field theory approach to construct the Navier-Stokes equation

Albertus Sulaiman, L. T. Handoko|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2005

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、局所的にゲージ不変なボソン的ラグランジアンを用い、相対論的枠組みで流体力学を特定の場の配置によってモデル化することで、ナビエ＝ストークス方程式を導出する。保守的力が含まれるナビエ＝ストークス方程式を正確に再現し、流体の回転と電流／密度に関連する2つの新しい臨場的力（emergent forces）を同定する。これにより、流体力学に場の理論的基盤が与えられる。

ABSTRACT

We construct the Navier-Stokes equation from first principle using relativistic bosonic lagrangian which is invariant under local gauge transformations. We show that by defining the bosonic field to represent the dynamic of fluid in a particular form, a general Navier-Stokes equation with conservative forces can be reproduced exactly. It also induces two new forces, one is relevant for rotational fluid, and the other is due to the fluid's current or density. This approach provides an underlying theory to apply the tools in field theory to the problems in fluid dynamics.

研究の動機と目的

• 相対論的ゲージ不変性を用いた基本的な場の理論的導出を通じて、ナビエ＝ストークス方程式を確立すること。
• 相対論的場の理論枠組みにおいて、局所的ゲージ不変性から流体力学を体系的に導出できるかを検討すること。
• ボソン的場を流体として解釈した場合に、ゲージ構造から標準のナビエ＝ストークス形式に存在しない新しい物理的力がどのように出現するかを同定すること。
• 量子場理論の道具を古典的流体力学問題に統一的かつ体系的に応用できる理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 局所的U(1)ゲージ変換に対して不変な相対論的ボソン的ラグランジアンを定式化すること。
• ボソン的場を、速度、密度、電流といった流体変数を特定の幾何的形で符号化するように定義すること。
• 最小作用の原理を適用し、ゲージ不変ラグランジアンから場の運動方程式を導出すること。
• 得られた運動方程式が、保守的力を含むナビエ＝ストークス方程式として特定されることを確認すること。
• 方程式に現れる追加項を分析し、それらを2つの新しい力として分類すること：1つは流体の回転に関連し、もう1つは流体の電流または密度勾配に関連するもの。
• 所定の場のパrametrizationのもとで、標準のナビエ＝ストークス方程式が正確に回復されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的場の理論枠組みにおいて、ナビエ＝ストークス方程式を基本的なゲージ不変ラグランジアンから導出できるか？
• RQ2 ボソン的場を流体として解釈した場合、ゲージ構造からどのような新しい物理的力が出現するか？
• RQ3 局所的ゲージ対称性の導入が、なぜ流体方程式に粘性項および保守的力項を自然に導くのか？
• RQ4 流体の電流および密度が、標準のナビエ＝ストークス力の外に追加の力学的項を生成する役割を果たすか？
• RQ5 この構成を通じて、場の理論的道具が古典的流体力学にどの程度体系的に応用可能か？

主な発見

• ゲージ不変ラグランジアンから導かれた運動方程式により、保守的力を含むナビエ＝ストークス方程式が正確に再現された。
• ゲージ構造から2つの新しい力が出現した：1つは流体の回転に関連し、もう1つは流体の電流または密度勾配に関連するもの。
• 流体力学は、相対論的ボソン的場の特定の場の配置として符号化されており、ナビエ＝ストークス形式と整合的であることが保証された。
• このアプローチにより、流体力学に場の理論的基盤が与えられ、ゲージ場理論の高度な道具が利用可能になった。
• 導出過程により、ゲージ対称性と流動における粘性項および慣性項の出現との直接的な対応関係が確立された。
• この方法により、ナビエ＝ストークス方程式が単なる経験的記述ではなく、相対論的場の理論的設定においてより深い対称性原理から生じうることが明らかになった。