[論文レビュー] Gauge Fields in Causal Set Theory

Roman Sverdlov|ArXiv.org|Jul 13, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ホロノミー、因果関係、時空体積を用いてヤン・ミルズラグランジアンを記述することで、因果集合理論におけるゲージ場を定式化する。これにより、電荷を帯びたスカラー場と結合したSU(n)ゲージ理論の離散的・組み合わせ的記述が可能になる。さらに、ゲージ力学がコンパクト化された幾何から生じるカルラ・クレイン風のモデルを導入し、明示的なゲージ接続を含まずに重力結合作用を提示する。

ABSTRACT

This is the second paper in a series on the dynamics of matter fields in the causal set approach to quantum gravity. We start with the usual expression for the Lagrangian of a charged scalar field coupled to a SU(n) Yang-Mills field, in which the gauge field is represented by a connection form, and show how to write it in terms of holonomies between pairs of points, causal relations, and volumes or timelike distances, all of which have a natural correspondence in the causal set context. In the second part of the paper we present an alternative model, in which the gauge field appears as the result of a procedure inspired by the Kaluza-Klein reduction in continuum field theory, and the dynamics can be derived simply using the gravitational Lagrangian of the theory.

研究の動機と目的

• 因果集合による量子重力の枠組み内で、SU(n)ゲージ場と電荷を帯びたスカラー場の離散的・組み合わせ的定式化を構築すること。
• 微分可能な時空構造に依存しないように、ゲージ接続を因果集合の要素間のホロノミーに置き換えること。
• 因果関係、時間的距離、体積のみを用いてヤン・ミルズ理論の因果集合作用を導出すること。
• ゲージ場がコンパクト化された次元からの幾何的縮約によって生じる、カルラ・クレイン型の代替モデルを検討すること。
• 動的計量の変動に起因する問題を回避するため、固定された因果集合上でのゲージ場の経路積分量を定式化すること。

提案手法

• 因果集合の点 $ p $ と $ q $ 間の平行移動を記述するホロノミー $ f(p,q) = \mathrm{P} \exp\left( \mathrm{i}e \int_{\gamma(p,q)} A_\mu^k T^k dx^\mu \right) $ を用いてゲージ場を表現する。
• 連続的時空の微分を、$ \phi(q) - \phi(p) $ の差分に $ \tau(p,q)^2 $ をスケーリングして置き換える。ここで $ \tau $ はローレンツ的距離である。
• アレクサンドロフ集合 $ \alpha(p,q) $ の体積 $ V(p,q) $ を用いて $ \tau(p,q) $ を $ V(p,q) = \frac{c_{d-1}}{2^{d-1}d} \tau^d(p,q) $ と定義し、因果集合としての実現を可能にする。
• 先行研究の無電荷クライン＝ゴルドン作用に類似した方法を用い、ホロノミー補正を組み込むことで、電荷を帯びたスカラー場の因果集合作用を導出する。
• ゲージ場が第5次元から生じるカルラ・クレイン風のモデルを導入し、計量成分 $ g_{\mu d} $ がゲージポテンシャルを記述する。
• 2点関数 $ d(p,q) $ を用いて作用を構成し、これはコンパクト次元における位相シフトを表す。$ p \not\prec q $ のとき $ d(p,q) = 0 $ とすることで因果構造を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分可能な時空に依存せずに、電荷を帯びたスカラー場と結合したSU(n)ゲージ場の力学を、離散的・組み合わせ的枠組みでどのように定式化できるか？
• RQ2 因果集合の要素間のホロノミーが、ヤン・ミルズラグランジアンにおけるゲージ接続を完全に置き換えられるか？
• RQ3 因果集合フレームワーク内でのカルラ・クレイン機構の因果集合版は何か？ また、幾何的コンパクト化からどのようにゲージ力学を再現できるか？
• RQ4 計量が動的でない固定された因果集合上でのゲージ場の経路積分をどのように定式化できるか？
• RQ5 アレクサンドロフ集合の体積と因果構造が、連続的場理論の観測可能量を再構成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 電荷を帯びたスカラー場の因果集合作用は、ホロノミー $ f(p,q) $、因果関係 $ p \prec q $、体積 $ V(p,q) $ を用いて記述され、$ \tau(p,q) $ と埋め込み密度 $ \rho $ に明示的な依存関係を示す。
• ヤン・ミルズラグランジアンは、時空添字や微分可能な接続への言及を一切排除し、ホロノミーと因果集合構造のみを用いて成功裏に再定式化された。
• カルラ・クレイン風モデルでは、ゲージ場が計量 $ g_{\mu d} $ の成分として実現され、2点関数 $ d(p,q) $ がコンパクト次元における位相シフトを記述する。
• カルラ・クレインモデルにおいて、$ d(p,q) $ の物理的意味は $ g_{dd} $ であると特定され、経路積分では計量がゲージ場に依存することを反映するために $ \mathrm{d}f(p,q)/\mathrm{d}\tau(p,q) $ を用いる必要がある。
• 2点関数 $ f(p,q) $ がゲージ理論における位相シフトと、アレクサンドロフ集合体積における光円錐シフトの両方を担うことが示唆され、幾何的効果とゲージ効果の深い統合が示唆される。
• 本稿は、重力を量子化しない因果集合におけるカルラ・クレイン理論が、連続的記述で一般的に生じる正則化問題を回避して量子化可能であることを示している。