[論文レビュー] Gauge gravity and discrete quantum models

John W. Barrett, Steven Kerr|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、n次元一般相対性理論を、ISO(n)群とスカラー・ヒッグス場を用いた対称性の自発的破れによりSO(n)へと分岐させるゲージ理論として定式化し、行列ベースの作用を与える。3次元球面の三角形分割上に、離散的量子重力モデルを構築し、これは正確にポンツァーノ＝レッジモデルに還元され、ゲージ重力と既存のスピンフォース量子重力の直接的な関係を確立する。

ABSTRACT

The gauge gravity action for general relativity in any dimension using a connection for the Euclidean or Poincaré group and a symmetry-breaking scalar field is written using a particularly simple matrix technique. A discrete version of the gauge gravity action for variables on a triangulated 3-manifold is given and it is shown how, for a certain class of triangulations of the three-sphere, the discrete quantum model this defines is equivalent to the Ponzano-Regge model of quantum gravity.

研究の動機と目的

• n次元一般相対性理論を、スカラー・ヒッグス場による自発的対称性の破れを伴うISO(n)群に基づくゲージ理論として再定式化すること。
• 3次元三角形分割多様体に対して、ISO(3)ゲージ重力作用に基づく離散的量子重力モデルを構築すること。
• 特定の3次元球面の三角形分割のクラスに対して、離散モデルが正確にポンツァーノ＝レッジモデルに還元されることを示すこと。
• ISO⁺(2,1)群を用いたローレンツ型符号の拡張を試みること。
• 3次元球面を超えた一般化に必要な幾何的構造（例：崩壊移動、辺双対比較）を同定すること

提案手法

• スピン接続 ω とフレーム場 e を組み合わせた行列値1形式として、ISO(n)接続を表現する。
• ISO(n)の下で変換する固定ノルム c のスカラー場 φ を導入し、ゲージ対称性をISO(n)からSO(n)へと破る。
• φ の共変微分と曲率 F の外積をとり、レヴィチビタテンソルと縮約することでゲージ重力作用を構築する。
• 三角形分割された3次元多様体上で作用を離散化し、辺にISO(3)の元 M_e ∈ ISO(3) を割り当て、三角形にデルタ関数 δ(G(e)) を割り当てる。
• スパニングツリー T に属する辺に対して M_e = 1 とすることでゲージ固定を行い、分配関数を ∫∏_{e∉T} dM_e ∏_{e∉T} δ(M_e) に簡略化する。
• トポロジー的移動（例：崩壊移動）を用いて分配関数の不変性と有限性を証明し、3次元球面では分配関数が正確に 1 に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n次元一般相対性理論は、ISO(n)群のゲージ理論として、ヒッグス様スカラー場による自発的対称性の破れを伴って一貫して定式化可能か？
• RQ2 ISO(3)ゲージ重力作用に基づく3次元三角形分割多様体上の離散的量子重力モデルは、どのように構築可能か？
• RQ3 どのような条件下で離散モデルが正確にポンツァーノ＝レッジモデルに還元されるか？
• RQ4 3次元球面を超えた一般化に必要な幾何的構造は何か？
• RQ5 ISO⁺(2,1)群を用いてローレンツ型符号にモデルを拡張可能か？また、有限性と既知のモデルとの等価性は保たれるか？

主な発見

• ヒッグス様スカラー場を伴うISO(n)ゲージ重力作用は、正の宇宙定数を伴わない一次形式のアインシュタイン＝ヒルベルト作用に還元される。
• 3次元球面の特定のクラスの三角形分割に対して、ISO(3)作用から導かれた離散的量子モデルは、数学的にポンツァーノ＝レッジモデルと等価である。
• 崩壊移動を用いた三角形数に関する帰納法により、離散モデルの分配関数が正確に 1 に評価されることを示した。
• スパニングツリー上の辺で群元を単位元に固定するゲージ固定手順により、簡略化された分配関数が得られ、これは有限かつトポロジー的移動に対して不変である。
• ISO⁺(2,1)群を用いたローレンツ型符号への拡張は可能であるが、追加の正則化なしには分配関数は形式的に無限大のままとなる。
• モデルの構造は、量子群（例：DSU(2)）が量子理論において役立つ可能性を示唆しており、これはチャーン＝サイモンズ理論と類似している。