[論文レビュー] Gauge Invariance in Field Theory and Statistical Physics in Operator Formalism

I. V. Tyutin|ArXiv.org|Dec 2, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用数 330

ひとこと要約

本稿は、正準演算子形式を用いて非アーベルゲージ理論および統計場理論におけるゲージ不変性を確立し、ハイゼンベルクの運動方程式と正準交換関係を用いてウォード恒等式を導出し、ゲージ不変な統計平均を証明する。また、便宜的なフェルミオン的スカラー場の偶数周波数成分を保証する一般化された統計平均を導入し、対称性の自発的破れおよび破れなしの両相においてゲージ不変な分配関数を実現する。

ABSTRACT

We obtain the Ward identities and the gauge-dependence of Green's functions in non-Abelian gauge theories by using only the canonical commutation relations and the equations of motion for the Heisenberg operators. The consideration is applicable to theories both with and without spontaneous symmetry breaking. We present a definition of a generalized statistical average which ensures that the Fourier images of temperature Green's functions of the Fermionic fields have only even-valued frequencies. This makes it possible to set up a procedure of gauge-invariant statistical averaging in terms of the Hamiltonian and the field operators.

研究の動機と目的

• 正準交換関係とハイゼンベルクの運動方程式のみを用いて、非アーベルゲージ理論および統計場理論におけるゲージ不変性の厳密な証明を確立すること。
• 関数的積分アプローチにおけるゲージ不変な統計平均に関する曖昧さを解消し、演算子形式と整合する一般化された統計平均を構築すること。
• 便宜的なフェルミオン的スカラー場（ゲージ固定のため導入）の温度グリーン関数が、ゲージ不変性に要請されるように、偶数周波数のみを含むように保証すること。
• 対称性の自発的破れが存在する場合でも、分配関数および物理的観測量がゲージ不変のままであることを示すこと。
• Faddeev-Popovのゴーストなどの補助場を含む理論の正準量子化フレームワークを提供し、経路積分に依存せずに摂動計算とウォード恒等式を支持すること。

提案手法

• 関数的積分を避けて、ハイゼンベルクの運動方程式と正準交換関係を用いてウォード恒等式を導出する。
• 便宜的なフェルミオン的スカラー場 $ C^a, C^{+a} $ をゲージ場に結合させる修正ラグランジアン $ L = L_0 + \frac{1}{2}t^a \alpha_{ab} t^b + L_C $ を導入し、適切なゲージ固定構造を保証する。
• 温度グリーン関数のフーリエ変換が $ C^a $ に対して偶数周波数のみを含むようにする一般化された統計平均を定義する。これは標準的なフェルミオン統計とは対照的である。
• ハミルトニアン形式と場演算子を用いて、アーベルおよび非アーベル理論の両方に対して有効なゲージ不変な分配関数を定義する。
• 時間微分 $ \partial_0 $ と $ T $-積を含む部分積分および時間順序付けの操作を適用し、$ C $ および $ C^+ $ に依存する非可換性を考慮する。
• 反交換パrameter $ \mu $ を用いたスーパitransformation を用いて、作用とヤコビアンを不変に保ち、ウォード恒等式の簡単な形（F.6）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的積分に依存せずに、正準演算子形式のみを用いて非アーベルゲージ理論におけるゲージ不変性を厳密に証明できるか？
• RQ2 温度グリーン関数のフェルミオン的スカラー場の偶数周波数成分のみを含むように、統計平均をどのように定義できるか？
• RQ3 標準的な統計平均の定義が、Faddeev-Popovのゴーストが存在する場合にゲージ不変でない結果を生じる理由は何か？そして、これをどのように是正できるか？
• RQ4 追加のラグランジアン $ L_C $ は、演算子形式における一貫性ある正準量子化とゲージ不変性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 経路積分における非局所的変数変換に依存せずに、ウォード恒等式および分配関数のゲージ不変性を独立に導出できるか？

主な発見

• 非アーベルゲージ理論におけるウォード恒等式は、関数的積分を避けて、ハイゼンベルクの運動方程式と正準交換関係のみを用いて導出された。
• 一般化された統計平均を定義し、便宜的なフェルミオン的スカラー場の温度グリーン関数が偶数周波数のみを含むようにした。これはゲージ不変性に不可欠である。
• 提案された形式下でも、対称性の自発的破れが存在する場合でも、分配関数はゲージ不変のままである。
• $ L_C $ の導入により、補助場 $ C^a, C^{+a} $ が摂動的図式構造に正しく寄与し、必要な追加頂点を含むようになる。
• 導出されたウォード恒等式（F.6）は非常に単純であり、量子電磁力学および一次非アーベル摂動論において明示的に検証された。
• 反交換パrameter $ \mu $ を用いたスーパitransformation は、ゲージ不変な作用とヤコビアン 1 を与え、同じウォード恒等式（F.6）を導出し、標準的結果と整合することを確認した。