[論文レビュー] Gauge invariance of the Chern-Simons action in noncommutative geometry

Thomas Krajewski|ArXiv.org|Oct 23, 1998

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、循環コホモロジーとK理論の双対性を活用することで、非可換幾何におけるチャーン・サイモンズ作用のゲージ不変性を確立する。インデックス定理を用いて、非可換トーラス上でのこれらのコホモロジー的不変量の結合が量子化されることを証明し、古典的チャーン・サイモンズゲージ不変性を非可換設定に一般化する。

ABSTRACT

In complete analogy with the classical case, we define the Chern-Simons action functional in noncommutative geometry and study its properties under gauge transformations. As usual, the latter are related to the connectedness of the group of gauge transformations. We establish this result by making use of the coupling between cyclic cohomology and K-theory and prove, using an index theorem, that this coupling is quantized in the case of the noncommutative torus.

研究の動機と目的

• 古典的チャーン・サイモンズゲージ不変性の概念を非可換幾何の枠組みへと拡張すること。
• ゲージ変換が非可換空間におけるチャーン・サイモンズ作用にどのように作用するかを調査すること。
• 非可換幾何の道具を用いてゲージ不変性の厳密な数学的基盤を構築すること。
• 循環コホモロジーとK理論の結合が非可換トーラス上で量子化されることを確立し、位相的不変性を保証すること。
• インデックス定理を非可換設定に一般化し、チャーン・サイモンズ作用の量子化を支援すること。

提案手法

• スペクトル三重対と非可換微分形式を用いて、古典的チャーン・サイモンズ作用関数を非可換幾何に適応する。
• 循環コホモロジーとK理論の双対性を適用し、ゲージ変換およびそれらの作用が作用に与える影響を分析する。
• 非可換トーラスにおけるインデックス定理を用いて、チャーン・サイモンズ結合に量子化条件を導出する。
• 非可換接続と曲率の形式的定式化を用いて、ゲージ不変に作用を定義する。
• 小さなゲージ変換の下でチャーン・サイモンズ作用が消えることにより、ゲージ群の連結性を分析する。
• 作用の量子化がゲージ同値の下で成立することを示すために、非可換トーラスをモデル空間として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてチャーン・サイモンズ作用を非可換幾何において一貫して定義できるか？
• RQ2 非可換空間におけるゲージ変換の下でチャーン・サイモンズ作用はどのように振る舞うか？
• RQ3 非可換トーラス上での循環コホモロジーとK理論の結合は量子化されるか？
• RQ4 インデックス定理を適用することで、非可換設定におけるチャーン・サイモンズ作用の位相的不変性を証明できるか？
• RQ5 非可換幾何において、チャーン・サイモンズ作用のゲージ不変性は古典的ケースと同様に成立するか？

主な発見

• スペクトル三重対と非可換微分形式の使用により、チャーン・サイモンズ作用は非可換幾何において適切に定義される。
• ゲージ変換は、小さな変形の下で構造を保つ古典的ケースと同様に、チャーン・サイモンズ作用に作用する。
• 非可換トーラス上での循環コホモロジーとK理論の結合は量子化されており、位相的不変性が保証される。
• 非可換トーラスにインデックス定理を適用することで、チャーン・サイモンズ作用がゲージ変換に対して不変であることが確認される。
• ゲージ変換の群は非可換設定において連結しており、作用が完全形式まで不変であることを示唆する。
• 本論文は、位相的量子化によって裏付けられた、古典的チャーン・サイモンズゲージ不変性の非可換アナログを確立する。