[論文レビュー] Gauge invariant flow equation

C. Wetterich|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、Yang-Mills理論および量子重力に対して、背景場を別途必要とせず、1つの巨視的ゲージ場または計量に依存する閉じたゲージ不変な関数的フロー方程式を提案する。物理的およびゲージ揺らぎに射影し、特定の場の再定義と物理的ゲージ固定（例：α→0 のLandauゲージ）を用いることで、正確なゲージ不変性を達成し、非摂動的量子場理論の整合的切断を可能にする。

ABSTRACT

We propose a closed gauge-invariant functional flow equation for Yang-Mills theories and quantum gravity that only involves one macroscopic gauge field or metric. It is based on a projection on physical and gauge fluctuations. Deriving this equation from a functional integral we employ the freedom in the precise choice of the macroscopic field and the effective average action in order to realize a closed and simple form of the flow equation.

研究の動機と目的

• Yang-Mills理論および量子重力のための、1つの巨視的場に依存するゲージ不変な有効作用を定式化すること。
• 関数的量子臨界スケーリングのアプローチにおいて、別個の背景場を導入する必要を排除することにより、ゲージ不変性と切断スキームの複雑化を回避すること。
• 物理的およびゲージ揺らぎに射影することで、正確にゲージ不変なままである閉じた単純なフロー方程式を達成すること。
• 標準的な物理的ゲージ固定（例：Landauゲージ）を、実用的実装としての射影の実現に用いる根拠を示すことにより、実際には非局所的射影子を避けること。
• 非摂動的QCDや量子重力の研究の基盤を提供し、量子重力における漸近的安全の可能性を確立すること。

提案手法

• 微視的場 $g = \langle g' \rangle$ の関数として計算可能な巨視的場 $\bar{g}(g)$ を導入し、固定背景場に代える。
• 巨視的場 $\bar{g}$ のみに依存するゲージ不変な有効作用 $\bar{\Gamma}(\bar{g})$ を構築し、ゲージ変換に対して不変であることを保証する。
• 巨視的場 $\bar{g}$ を用いて物理的ゲージ固定項 $S_{\text{gf}}$ を実装する。具体的には $S_{\text{gf}} = \frac{1}{2\alpha} \int_x \sqrt{\bar{g}} (D^\mu h'_{\mu\nu})^2$ とし、$\alpha \to 0$ とする。
• 物理的揺らぎへの射影を用いてフロー方程式を定義し、ゲージ揺らぎにのみ作用するレギュレータ $\bar{R}_P$ と射影子 $P^{(T)}$ を用いる。
• 補正項 $\gamma_k$ と $\Delta B_P$ を $\bar{\Gamma}(\bar{g})$ の関数として表現することで、フロー方程式が閉じており、非局所性を最小限に抑える。
• $\alpha \to 0$ の極限を用いて、標準的なLandauゲージフローに一致することを示し、適切な場の再定義のもとで、射影されたフロー方程式と等価であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Yang-Mills理論および量子重力に対して、1つの巨視的場のみを用いて、閉じたゲージ不変な関数的フロー方程式を定式化できるか？
• RQ2 別個の背景場を導入せずに、関数的量子臨界スケーリングにおいてゲージ不変性をどのように保てるか？
• RQ3 物理的ゲージ固定（例：$\alpha \to 0$ のLandauゲージ）は、閉じたゲージ不変なフロー方程式を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 補正項 $\gamma_k$ と $\Delta B_P$ がどのような条件下で消え、フロー方程式の正確性が保証されるか？
• RQ5 この枠組みは、量子重力およびQCDの非摂動的研究のための信頼できる切断を可能にするか？

主な発見

• 提案されたフロー方程式は正確にゲージ不変であり、背景場を必要とせず、1つの巨視的場 $\bar{g}$ にのみ依存する。
• 物理的ゲージ固定に $\alpha \to 0$（例：Landauゲージ）を用いることで、標準的なフロー方程式が射影されたゲージ不変なフロー方程式と等価になることが保証される。
• $\sim F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$ に基づく簡単な切断において、1ループの $\beta$-関数およびYang-Mills理論における結合定数の2ループ係数の $5/6$ を再現する。
• この切断におけるグルーオン伝播関数には質量項が含まれず、非摂動的期待と整合的である。
• 非局所的射影子を明示的に導入する必要がなく、射影は「手動」での物理的ゲージ固定により実装可能であるため、信頼できる切断が可能である。
• この方法は、量子重力における漸近的安全の基盤を提供する。Wetterich (2017a, 2018) の後続の応用により、その有効性が確認されている。