[論文レビュー] Gauge invariant fluid lagrangian and its application to cosmology

Albertus Sulaiman, T. P. Djun+1 more|ArXiv.org|Aug 13, 2005

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、新たなゲージボソン場 $ A_{\mu} = \epsilon_{\mu} \phi $ を用いてゲージ不変な相対論的流体ラグランジアンを提案する。ここで $ \epsilon_{\mu} $ は流体の運動学を記述し、$ \phi $ は流体分布を表す補助場である。このモデルにより、非相対論的極限で古典的オイラー方程式に還元される相対論的運動方程式が得られ、均一な宇宙に適用した場合、ホイーラー距離において自由エネルギー密度が発散することを予測し、相対論的速度において物理的閾値が存在することを示唆する。

ABSTRACT

A lagrangian for relativistic fluid systems with matters inside is developed using gauge principle. In the model, the gauge boson represents the fluid field in a form $A_μ\equiv ε_μϕ$, where $ε_μ$ contains the fluid kinematics and $ϕ$ is an auxiliary field representing the fluid distribution. This leads to a new relativistic equation of motion for fluid, but which further coincides to the classical Euler equation at non-relativistic limit. The lagrangian is applied to model homogeneous universe as a bulk pure fluid system. Taking the simplest case of fluid with radial velocity and uniform distribution, the free energy density is calculated and its behaviour around Hubble distance is discussed.

研究の動機と目的

• 相対論的流体力学と整合的で、明示的にゲージ不変性を満たす相対論的流体ラグランジアンを構築すること。
• 従来の流体力学が大規模かつ非一様系（例えば宇宙）を記述する際に抱える限界を、基本的なラグランジアン形式から出発することで解決すること。
• 連続の方程式を出発点とせず、オイラー＝ラグランジュ方程式から相対論的運動方程式を導出すること。
• 均一で球対称な流体宇宙にモデルを適用し、その自由エネルギー密度を計算すること。

提案手法

• 流体速度を記述する $ \epsilon_{\mu} $ と流体分布を表す $ \phi $ を用いて、ゲージ場 $ A_{\mu} = \epsilon_{\mu} \phi $ を用いた相対論的ラグランジアン密度を定式化する。
• 局所アーベルゲージ不変性をラグランジアンに適用し、共変微分を導入してゲージ対称性を保証する。
• ゲージ不変なラグランジアンからオイラー＝ラグランジュ方程式を用いて運動方程式を導出する。
• エネルギー運動量テンソルを計算し、ハミルトニアン密度を抽出することで、熱平衡状態における自由エネルギー密度を決定する。
• $ v = rH $ を満たす均一で球対称な流体宇宙にモデルを適用し、$ \phi $ を定数と仮定する。
• 分配関数 $ \mathcal{Z} = e^{-\mathcal{H}/T} $ を用いて自由エネルギー密度 $ \mathcal{F} = -T \ln \mathcal{Z} $ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非相対論的極限で古典的オイラー方程式に還元される、ゲージ不変な相対論的流体ラグランジアンを構築可能か？
• RQ2 均一で相対論的流体宇宙の自由エネルギー密度は、ホイーラー距離付近でどのように振る舞うか？
• RQ3 ゲージ場構造 $ A_{\mu} = \epsilon_{\mu} \phi $ は、相対論的流体力学と整合する上で果たす役割は何か？
• RQ4 相対論的効果によって、ホイーラースケールに物理的閾値が予測されるか？
• RQ5 自由エネルギー密度は、径方向速度プロファイルおよび流体分布にどのように依存するか？

主な発見

• 提案されたゲージ不変ラグランジアンは、非相対論的極限で古典的オイラー方程式に還元される相対論的運動方程式を導く。
• 自由エネルギー密度はホイーラー距離 $ r_{\text{th}} = cH^{-1} $ において $ \mathcal{F} \to \infty $ に発散し、相対論的速度における物理的閾値を示唆する。
• 発散は自由エネルギー式における $ v^2 \gamma^4 (\partial v / \partial r)^2 $ の依存性に起因し、$ \beta \to 1 $ のとき特異的になる。
• 非相対論的速度（$ \beta \to 0 $）では、自由エネルギー密度は速度の二乗に比例する形に簡略化され、古典的運動論と整合する。
• $ r_{\text{th}} $ を超えて指数関数的に増加するステップ関数的流体分布 $ \phi(r) $ を仮定することで、ホライズンを超えた自由エネルギーを抑制でき、拡張された流体モデルにおける有限エネルギーを実現するメカニズムが示唆される。
• このモデルは、流体分布が対称な場合、ホイーラー距離が鏡のような界面として機能する物理的境界である可能性を示唆している。