[論文レビュー] Gauge-Invariant Localization of Infinitely Many Gravitational Energies from all Possible Auxiliary Structures, Or, Why Pseudotensors are Okay

J. Brian Pitts|ArXiv.org|Oct 17, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における重力的エネルギー運動量のゲージ不変な局在化という長年の問題を解決する。それは、すべての可能な座標系および補助構造（例えば、平坦な背景計量など）における全擬テンソル的エネルギー運動量を集めた無限次元の共変的対象を提案することで達成される。主な結果は、この集合がゲージ不変であり、アインシュタインの運動方程式に等価であることである。これにより、擬テンソルが個別にではなく、集合的であると捉えた場合に物理的に意味を持つことが裏付けられる。

ABSTRACT

The problem of finding a covariant expression for the distribution and conservation of gravitational energy-momentum dates to the 1910s. A suitably covariant infinite-component localization is displayed, reflecting Bergmann's realization that there are infinitely many conserved gravitational energy-momenta. Initially use is made of a flat background metric or connection (or rather, all of them), because the desired gauge invariance properties are obvious. Partial gauge-fixing then yields an appropriate covariant quantity without any background metric or connection; one version is the collection of pseudotensors of a given type, such as the Einstein pseudotensor, in_every_ coordinate system. This solution to the gauge covariance problem is easily adapted to any pseudotensorial expression or to any tensorial expression built with a background metric or connection. Thus the specific functional form can be chosen on technical grounds such as relating to Noether's theorem and yielding expected values of conserved quantities in certain contexts and then rendered covariant using the procedure described here. The application to angular momentum localization is straightforward. Traditional objections to pseudotensors are based largely on the false assumption that there is only one gravitational energy rather than infinitely many.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における重力的エネルギー運動量のゲージ不変な局在化を達成する方法を解決すること。
• 従来、座標依存性のため物理的でないと批判されてきた擬テンソルが、すべてのそれらの集合がゲージ不変であることを示すことにより、その批判を解消すること。
• すべての擬テンソル的エネルギー運動量の無限集合を、集団的に考えることで、物理的に意味のある共変的保存則が得られることを示すこと。
• 平坦な背景計量などの補助構造の使用が、すべての構造を同時に含めることで、根本的な問題にならないことの証明。
• 擬テンソルを個別に物理的でないとみなすのでなく、より広範で物理的に整合性のある無限次元の共変的対象の一部として理解することで、物理的意味を有することを検証すること。

提案手法

• 論文は、すべての可能な座標系および補助構造（例えば、平坦な背景計量など）における全擬テンソル的エネルギー運動量を集めて、ゲージ不変で無限次元の対象を構築する。
• すべての可能な背景計量（または接続、 tetrad など）の集合が、個々の選択の変更に対して不変であるという原理を用いることで、ゲージ依存性を排除する。
• 個々の擬テンソルが座標に依存する一方で、すべての座標におけるそれらの全集合は座標変換に対して不変であるという事実に依拠する。
• ネーターの定理を適用し、すべての擬テンソル的保存則の無限集合が、集団的にアインシュタインの運動方程式を意味することを示す。
• 任意の擬テンソルまたは背景構造を用いて構築されたテンソル的表現に対しても、このアプローチを一般化し、物理的または計算上の便宜に応じて技術的選択（例えば、アインシュタイン対比ランドウ＝リフシッツの擬テンソル）が可能になる。
• 角運動量に対しても、すべての座標系における角運動量密度から同様の無限次元対象を構成することで、このアプローチを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論において、重力的エネルギー運動量を、ゲージ不変かつ共変的に局在化する方法は何か？
• RQ2 従来、座標依存性のため物理的でないと批判されてきた擬テンソルが、なぜ集団的に見れば物理的に受け入れ可能なのか？
• RQ3 無限個の重力的エネルギー運動量を、一つの物理的に意味のある共変的対象に統合できるか？
• RQ4 複数の擬テンソルが存在する状況と、物理的整合性と不変性の要請をどのように調和できるか？
• RQ5 擬テンソルの集団的挙動は、完全なアインシュタインの場の運動方程式とどのように関係するか？

主な発見

• すべての座標系における全擬テンソル的エネルギー運動量の集合は、ゲージ不変で無限次元の共変的対象を形成する。
• この無限次元の対象は、アインシュタインの運動方程式に等価であり、全集合が示す保存則が数学的に場の運動方程式に等価であることを意味する。
• 平坦な背景計量などの補助構造の使用は、すべての構造を同時に含めることで、ゲージ不変性を破らない。
• 従来の擬テンソルに対する批判（座標依存性、特定の座標系で消えること、例えばシュレーディンガーの例）は、個々の擬テンソルが最終的な物理的対象ではなく、より大きな不変構造の一部であると認識することで解決される。
• このアプローチはエネルギー運動量に限らず、角運動量に対しても適用可能であり、同様の無限次元対象が共変的保存則を満たす。
• 擬テンソルが独立した物理的量としてではなく、より広範で不変かつ共変的な枠組みの一部として理解される場合、物理的に意味を持つことが検証される。