[論文レビュー] Gauge-invariant perturbation theory on the Schwarzschild background spacetime Part I : -- Formulation and odd-mode perturbations

K. Nakamura|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2021

Astrophysical Phenomena and Observations参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スカラーおよびベクトルモードの摂動に対する長年の課題を解消するため、スカワルツシルト時空におけるゲージ不変な摂動フレームワークを提案する。このフレームワークは、特異な調和関数を用いた計量摂動の分解と、境界条件による特異性の正則化を通じて、$l=0$ および $l=1$ モードの摂動を処理する。すべての $l \geq 0$ モードについて、ゲージ不変な形で線形化されたアインシュタイン方程式を導出し、奇モード摂動が自然にカー・パラメータの摂動を含むことにより、これらのモードにおける物理的整合性が確認される。

ABSTRACT

This is the Part I paper of our series of full papers on a gauge-invariant {\it linear} perturbation theory on the Schwarzschild background spacetime which was briefly reported in our short papers [K.~Nakamura, Class. Quantum Grav. {\bf 38} (2021), 145010; K.~Nakamura, Letters in High Energy Physics {\bf 2021} (2021), 215.]. We first review our general framework of the gauge-invariant perturbation theory, which can be easily extended to the {\it higher-order} perturbation theory. When we apply this general framework to perturbations on the Schwarzschild background spacetime, a gauge-invariant treatments of $l=0,1$ mode perturbations are required. On the other hand, in the current consensus on the perturbations of the Schwarzschild spacetime, gauge-invariant treatments for $l=0,1$ modes are difficult if we keep the reconstruction of the original metric perturbations in our mind. Based on this situation, we propose a strategy of a gauge-invariant treatments of $l=0,1$ mode perturbations through the decomposition of the metric perturbations by singular harmonic functions at once and the regularization of this singularity through the imposition of the boundary conditions to the Einstein equations. Following this proposal, we derive the linearized Einstein equations for any modes of $l\geq 0$ in a gauge-invariant manner. We discuss the solutions to the odd-mode perturbation equations in the linearized Einstein equations and show that these perturbations include the Kerr parameter perturbation in these odd-mode perturbation, which is physically reasonable.

研究の動機と目的

• スカワルツシルト背景上でのゲージ不変な線形摂動理論を構築し、高次の摂動に拡張可能であるようにすること。
• 元の計量摂動を再構成しようとする際、$l=0$ および $l=1$ モード摂動におけるゲージ不変変数を構築するという長年の難問を解決すること。
• 特異な調和関数と境界条件を用いた正則化戦略を提案し、$l=0,1$ モードに内在する特異性を処理すること。
• すべての $l \geq 0$ モードについて、ゲージ不変な形で線形化されたアインシュタイン方程式を導出すること。
• 奇モード解が物理的に妥当であることを示し、カー・パラメータ摂動の包含を確認すること。

提案手法

• 一般相対性理論の高次の摂動に適した、事前に開発された一般ゲージ不変な摂動フレームワークを用いる。
• スカワルツシルト背景にこのフレームワークを適用する際、計量摂動を球面調和関数 $Y_{lm}$ を用いて分解し、奇モードおよび偶モード成分に分離する。
• 特異な調和関数を導入し、$l=0$ および $l=1$ モード摂動を表現する。これらは本質的に特異性を有する。
• アインシュタイン方程式に境界条件を課すことにより、$l=0,1$ モードにおける特異性を正則化し、一貫性のあるゲージ不変な取り扱いを可能にする。
• 2+2形式を用いて、テンソル成分 $H_{abc}[\mathcal{F}]$、$H_{ab}^{\;\.c}[\mathcal{F}]$、$H_a^{\.bc}[\mathcal{F}]$ の明示的表現を含めた、ゲージ不変な形での線形化アインシュタイン方程式を導出する。
• 時空を径方向および角度方向に分解する2+2形式を用い、$A,B,C$ を角度成分、$p,q,r$ を径方向成分として定義し、摂動方程式を体系的に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な再構成手法が失敗するスカワルツシルト時空上での $l=0$ および $l=1$ モードのゲージ不変な摂動を、一貫してどのように定式化できるか？
• RQ2 $l=0,1$ モードのゲージ不変な取り扱いが、元の計量摂動の再構成という目的を放棄せずに達成可能か？
• RQ3 本手法によって得られる奇モード解は、物理的に意味のある量（例：カー・パラメータ摂動）を自然に含むか？
• RQ4 アインシュタイン方程式に境界条件を課すことによる特異性の正則化が、数学的および物理的に整合的か？
• RQ5 $l \geq 0$ モードに対する導出されたゲージ不変な形式は、$l \geq 2$ の既知の結果と整合的か？

主な発見

• 特異な調和関数と境界条件による正則化を用いることで、$l=0$ および $l=1$ モードを含め、すべての $l \geq 0$ モードについて、ゲージ不変な形で線形化アインシュタイン方程式を成功裏に導出できた。
• 奇モード摂動解は自然にカー・パラメータ摂動を含んでおり、物理的に妥当であり、本手法の整合性を裏付ける。
• 本フレームワークは、高次の摂動理論とも整合する。これは、事前に高次摂動に適した一般ゲージ不変形式に基づいているためである。
• 2+2形式により、テンソル $H_{abc}[\mathcal{F}]$、$H_{ab}^{\;\.c}[\mathcal{F}]$、$H_a^{\.bc}[\mathcal{F}]$ の明示的成分表現が得られ、摂動方程式の体系的計算が可能になった。
• 境界条件による正則化は、$l=0,1$ モード摂動における特異性を効果的に処理し、一貫性のあるゲージ不変な取り扱いを可能にした。
• 奇モードの結果は、第II部および第III部における偶モード解析の基盤を提供し、物理的妥当性がさらに確認される。