[論文レビュー] Gauge linked time-dependent non-Hermitian Hamiltonians

F. S. Luiz, M. A. de Ponte+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2017

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、時間に依存するダイソン写像の下での時間に依存する非エルミートハミルトニアンを検討し、非観測可能なハミルトニアンが、行列要素が等価なゲージ連携系の無限鎖を形成することを示している。観測可能性がシュレーディンガー型方程式の手法によって強制される場合、この鎖は単一の観測可能なハミルトニアンに収縮し、観測可能性がゲージ連携構造を排除することを明らかにする。

ABSTRACT

In this work we address systems described by time-dependent non-Hermitian Hamiltonians under time-dependent Dyson maps. We shown that when starting from a given time-dependent non-Hermitian Hamiltonian which is not itself an observable, an infinite chain of gauge linked time-dependent non-observable non-Hermitian Hamiltonians can be derived from it. The matrix elements of the observables associated with all these non observable Hamiltonians are, however, all linked to each other, and in the particular case where global gauges exist, these matrix elements becomes all identical to each other. In this case, therefore, by approaching whatever the Hamiltonian in the chain we can get information about any other Hamiltonian. We then show that the whole chain of time-dependent non-Hermitian Hamiltonians collapses to a single time-dependent non-Hermitian Hamiltonian when, under particular choices for the time-dependent Dyson maps, the observability of the Hamiltonians is assured. This collapse thus shows that the observability character of a non-Hermitian Hamiltonian prevents the construction of the gauge-linked Hamiltonian chain and, consequently, the possibility of approaching one Hamiltonian from another.

研究の動機と目的

• 時間に依存するダイソン写像の下での時間に依存する非エルミートハミルトニアンの構造を調査すること。
• このような系における非観測性の意味、特にハミルトニアンのゲージ連携鎖の出現を調査すること。
• これらの鎖が単一の観測可能なハミルトニアンに収縮する条件を特定すること。
• 時間に依存するダイソン写像がユニタリティを保ちながら観測可能性を可能にする役割を明確化すること。
• 線形およびパラメトリック増幅を伴う時間に依存する調和振動子を用いた具体的な例を提示すること。

提案手法

• 与えられた非観測可能なハミルトニアンから、時間に依存するダイソン写像を用いて、無限個のゲージ連携時間に依存する非エルミートハミルトニアンの鎖を構築する。
• 時間に依存する擬似エルミート性条件 $ H_t = \eta_t^{-1} h_t \eta_t - i \eta_t^{-1} \dot{\eta}_t $ を用いて、非エルミート的 $ H_t $ とエルミート的 $ h_t $ を関連付ける。
• ダイソン写像のガウス分解 $ \eta_t = \exp(\lambda_{+,t} K_+) \exp(\ln \lambda_{0,t} K_0) \exp(\lambda_{-,t} K_-) $ を用いて、ハミルトニアンの明示的表現を導出する。
• ダイソン写像とその時間微分を用いて、ハミルトニアンのエルミート的対応 $ h_t = \eta_t H_t \eta_t^{-1} + i \dot{\eta}_t \eta_t^{-1} $ を導出する。
• Luiz (2017) のシュレーディンガー型方程式の手法を適用し、時間に依存しない計量演算子をもたらす時間に依存するダイソン写像を構築する。
• このような写像の下で、ゲージ連携ハミルトニアンの鎖全体が、単一の時間に依存する観測可能な非エルミートハミルトニアンに収縮することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する非エルミートハミルトニアンは、無限個のゲージ連携非観測可能なハミルトニアンの鎖を生じうるか？
• RQ2 これらのゲージ連携ハミルトニアンに関連する観測量の行列要素どうしは、どのように関連しているか？
• RQ3 グローバルゲージ変換が鎖全体で同一の行列要素をもたらす条件は何か？
• RQ4 観測可能性が時間に依存するダイソン写像によって強制された場合、ゲージ連携鎖はどのように変化するか？
• RQ5 シュレーディンガー型方程式から導かれるダイソン写像の構成は、ゲージ連携ハミルトニアンの存在にどのように影響するか？

主な発見

• 時間に依存するダイソン写像を用いることで、単一の非観測可能なハミルトニアンから、無限個のゲージ連携時間に依存する非観測可能な非エルミートハミルトニアンの鎖を導出可能である。
• 鎖に属するすべてのハミルトニアンに関連する観測量の行列要素は相互に関連しており、グローバルゲージの下では鎖全体で同一になる。
• グローバルゲージ変換が存在する場合、鎖に属するすべてのハミルトニアンは物理的に等価であり、それらの間での情報伝達が可能になる。
• そのダイソン写像 $ \bar{\eta}_t $ が時間微分を必要としないハミルトニアン $ \bar{H}_t $ は、鎖の中で最も取り扱いやすい。
• 観測可能性がシュレーディンガー型方程式の手法によって保証される場合、鎖全体が単一の時間に依存する観測可能な非エルミートハミルトニアンに収縮する。
• 時間に依存する非エルミートハミルトニアンの観測可能性は、ゲージ連携ハミルトニアンの存在を妨げる。鎖構造が破壊されるためである。