[論文レビュー] Gauge Theories of Gravitation

M. Blagojević, Friedrich W. Hehl|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2012

Relativity and Gravitational Theory被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、局所的ポincare対称性を介して時空のねじれを組み込むことで一般相対性理論を拡張する、Poincaréゲージ理論（PGT）を含む重力のゲージ理論について包括的な分析を提示する。特に、特定の制約下でYangの真空方程式がPGTの枠組み内で自然に出現することを示し、これが真空中のアインシュタイン理論およびノルストローム理論と関連することを明らかにする。また、この極限において重力のエネルギー運動量が消えることから、退化した物理的状態であることが示される。

ABSTRACT

During the last five decades, gravity, as one of the fundamental forces of nature, has been formulated as a gauge theory of the Weyl-Cartan-Yang-Mills type. The present text offers commentaries on the articles from the most prominent proponents of the theory. In the early 1960s, the gauge idea was successfully applied to the Poincaré group of spacetime symmetries and to the related conserved energy-momentum and angular momentum currents. The resulting theory, the Poincaré gauge theory, encompasses Einstein's general relativity as well as the teleparallel theory of gravity as subcases. The spacetime structure is enriched by Cartan's torsion, and the new theory can accommodate fermionic matter and its spin in a perfectly natural way. This guided tour starts from special relativity and leads, in its first part, to general relativity and its gauge type extensions à la Weyl and Cartan. Subsequent stopping points are the theories of Yang-Mills and Utiyama and, as a particular vantage point, the theory of Sciama and Kibble. Later, the Poincaré gauge theory and its generalizations are explored and special topics, such as its Hamiltonian formulation and exact solutions, are studied. This guide to the literature on classical gauge theories of gravity is intended to be a stimulating introduction to the subject.

研究の動機と目的

• 重力のゲージ理論、特にPoincaréゲージ理論（PGT）の物理的および数学的基盤を明確にし、重力とスピン接続のダイナミクスを統一的枠組みで理解すること。
• Yangが1974年に提示した真空方程式の解釈の曖昧さを、PGT形式に埋め込むことによって解消すること。
• Yangの式が一般相対性理論およびノルストローム理論の既知の真空中解に還元される条件を特定すること。
• PGTの重力場方程式におけるねじれ、曲率、エネルギー運動量の役割を、特に物質源が存在しない場合に分析すること。
• Yangの式が成り立つ極限において重力のエネルギー運動量が消えることの証明を行い、その解が物理的に非現実的または退化した状態であることを示すこと。

提案手法

• 本稿は外微分形式と微分幾何学を用いて、Poincaréゲージ理論（PGT）の場の運動方程式を定式化し、コフレーム $\vartheta^\alpha$、スピン接続 $\omega^{\alpha\beta}$、ねじれ $T^\alpha$、曲率 $R^{\alpha\beta}$ を用いる。
• Yang–Mills型ラグランジアン $V = \frac{1}{\varrho} \,{}^*R_{\alpha\beta} \wedge R^{\alpha\beta}$ から重力励起1形式 $H_\alpha$ および $H_{\alpha\beta}$ を導出する。このラグランジアンは曲率とねじれに結合する。
• 重力のエネルギー運動量およびスピンカレントは、それぞれ $E_\alpha = e_\alpha \rfloor V + (e_\alpha \rfloor T^\beta) \wedge H_\beta + (e_\alpha \rfloor R^{\beta\gamma}) \wedge H_{\beta\gamma}$ および $E_{\alpha\beta} = -\vartheta_{[\alpha} \wedge H_{\beta]}$ により計算される。
• 場の運動方程式は $D^*R_{\alpha\beta} = \varrho \, \mathfrak{S}_{\alpha\beta}$ および $\star R_{\beta\gamma} \wedge (e_\alpha \rfloor R^{\beta\gamma}) - R^{\beta\gamma} \wedge (e_\alpha \rfloor \star R_{\beta\gamma}) = \varrho \, \mathfrak{T}_\alpha$ として導出され、源 $\mathfrak{T}_\alpha$ および $\mathfrak{S}_{\alpha\beta}$ を含む。
• ねじれがゼロである条件 $T^\alpha = 0$ の下で真空中（$\mathfrak{T}_\alpha = 0$, $\mathfrak{S}_{\alpha\beta} = 0$）の解析が行われ、曲率成分に制約が生じる。
• 解は自己双対および反自己双対の2つの枝に分類され、球対称な真空中解は、宇宙定数付きアインシュタイン理論またはノルストローム理論に対応することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Yangの1974年における重力の真空方程式は、Poincaréゲージ理論の場の運動方程式からどのように導かれるか？
• RQ2 Yangの式の文脈において、重力のエネルギー運動量 $E_\alpha$ の物理的解釈は何か？
• RQ3 PGTの場の運動方程式が、いつ一般相対性理論の真空方程式またはノルストローム理論に還元されるか？
• RQ4 Yangの式が成り立つ極限において、なぜ重力のエネルギー運動量が消えるのか？これは解の物理的性質にどのような意味を持つのか？
• RQ5 自己双対および反自己双対な曲率テンソルの部分が、PGTにおける真空中解の構造をどのように決定づけるか？

主な発見

• ねじれをゼロに設定し、重力のエネルギー運動量 $E_\alpha$ が消えるとき、Yangの真空方程式がPoincaréゲージ理論の枠組み内で回復され、これは退化した物理的極限を示している。
• Yang–Mills型ラグランジアンを用いたPGTの場の運動方程式は $D^*R_{\alpha\beta} = \varrho \, \mathfrak{S}_{\alpha\beta}$ を与え、Yangの式の源が物質のスピンカレント $\mathfrak{S}_{\alpha\beta}$ であることが示される。
• 真空中でねじれがゼロのとき、エネルギー運動量の場の運動方程式は制約式 $\star R_{\beta\gamma} \wedge (e_\alpha \rfloor R^{\beta\gamma}) - R^{\beta\gamma} \wedge (e_\alpha \rfloor \star R_{\beta\gamma}) = 0$ に簡略化され、この制約はアインシュタイン解およびノルストローム解の両方で満たされる。
• 球対称な真空中解は2つの枝に分かれる：1つは曲率の自己双対部分が消える（宇宙定数付きアインシュタイン理論に対応）、もう1つは反自己双対部分が消える（ノルストローム理論に対応）。
• 本分析により、LSKY方程式（Yangの式の一般化）がPGTと構造的に整合しており、一般化されたゲージ理論的枠組みに埋め込めることが確認されたが、$E_\alpha$ がゼロであるため、物理的に非現実な真空中状態を記述している。
• 本稿は、重力の正しいゲージ群は $GL(4,\mathbb{R})$ や $SO(1,3)$ ではなく、平行移動とローレンツ変換を半直積として含むアフィン群 $A(4,\mathbb{R})$ または $P(1,3)$ であると結論づける。