[論文レビュー] Gauge theories of gravity: the nonlinear framework

A. Tiemblo, R. Tresguerres|ArXiv.org|Oct 19, 2005

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 3被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、時空群の非線形実現に基づく一般相対性理論のゲージ理論のための非線形実現フレームワークを開発し、ポアンカレゲージ理論（PGT）と計量接続重力（MAG）を統一する。PGTのハミルトニアン形式はアシュテカールのアプローチと類似しており、MAGでは計量がゴードン場として現れ、重力の幾何的構造をゲージ理論的対象として統一的に解釈する。

ABSTRACT

Nonlinear realizations of spacetime groups are presented as a versatile mathematical tool providing a common foundation for quite different formulations of gauge theories of gravity. We apply nonlinear realizations in particular to both the Poincaré and the affine group in order to develop Poincaré gauge theory (PGT) and metric-affine gravity (MAG) respectively. Regarding PGT, two alternative nonlinear treatments of the Poincaré group are developed, one of them being suitable to deal with the Lagrangian and the other one with the Hamiltonian version of the same gauge theory. We argue that our Hamiltonian approach to PGT is closely related to Ashtekar's approach to gravity. On the other hand, a brief survey on MAG clarifies the role played by the metric--affine metric tensor as a Goldsone field. All gravitational quantities in fact --the metric as much as the coframes and connections-- are shown to acquire a simple gauge--theoretical interpretation in the nonlinear framework.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、非線形実現に基づく共通の数学的枠組みを用いて、多様なゲージ重力理論の形式を統一することである。
• 時空幾何のゲージ理論的起源、特に計量とコフレームを、PGTおよびMAGにおいて明確にすることである。
• アシュテカールの量子重力への関連を示す、PGTの整合的なハミルトニアン形式を確立することである。
• MAGにおける計量がアフィン群の自発的対称性の破れによってゴードン場としてどのように生じるかを調査することである。
• 合成ファイバー束と非線形実現を用いて、重力場の統一的幾何的・動的解釈を提供することである。

提案手法

• 本稿は、時空群の非線形実現（NLR）を用い、特にポアンカレ群とアフィン群を対象とし、選択された部分群Hによって異なる形式を生成する。
• G/Hをファイバー束の基底空間とする合成ファイバー束P(M, G)（H ⊂ G）を用いて、非線形実現構造をモデル化する。
• PGTでは、2つのNLRを構築する：H = ローレンツ群を用いたラグランジュ形式、H = SO(3)を用いたハミルトニアン形式。
• MAGでは、H = GL(4,R)およびH = ローレンツ群を用いた2つのNLRを検討し、アフィン群の自発的対称性の破れに伴い計量がゴードン場として現れることを明らかにする。
• 微分形式と外微分計算を用い、接続、曲率、 torsion を時空の葉状分割に沿った縦成分と横成分に分解する。
• 共変化されたリー微分と横方向の共変微分を用いて、幾何的対象（torsion, 曲率, eta基底）の明示的3+1分解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアンカレ群およびアフィン群の非線形実現は、ゲージ重力理論の統一的基盤をどのように提供するか？
• RQ2 部分群Hがゲージ重力理論の物理的形式を決定する役割を果たすのはどのような場合か。特にラグランジュ形式とハミルトニアン形式の区別において。
• RQ3 計量接続重力（MAG）における計量は、アフィン群の自発的対称性の破れによってどのようにゴードン場として生じるか？
• RQ4 ポアンカレゲージ理論のハミルトニアン形式とアシュテカール形式との正確な関係は何か？
• RQ5 非線形実現フレームワーク内において、3+1葉状分割された時空における幾何的対象（コフレーム、接続、曲率）はどのように分解されるか？

主な発見

• H = SO(3)を用いたポアンカレゲージ理論のハミルトニアン形式は、ラグランジュ形式と整合的であり、アシュテカールのアプローチと密接に関連していることが示された。
• PGTにおけるコフレームとスピン接続は、H = ローレンツ群を用いたポアンカレ群の非線形実現として自然に導かれる。これにより、ローレンツ共変な幾何的対象が得られる。
• MAGにおいて計量は、アフィン群の自発的対称性の破れに関連するゴードン場として特定され、その10自由度は非線形実現された対称性として説明可能である。
• torsionおよび曲率の3+1分解は、共変化されたリー微分と横方向の共変微分を含む構造を明らかにし、ハミルトニアン解析に不可欠である。
• eta基底とそのホッジ双対は空間成分に分解され、空間のエプシロンテンソルがSO(3)の構造定数として特定され、一貫した3+1分割を可能にする。
• 非線形実現フレームワークは、計量、コフレーム、接続といったすべての重力場を、自発的対称性の破れに起因するゲージ理論的対象として統一的に幾何的・動的解釈可能である。