[論文レビュー] Gauging as constraining: the universal generalised geometry action in two dimensions

Athanasios Chatzistavrakidis, Andreas Deser+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、大域的対称性や等長変換を仮定せず、代わりに葉構造（foliation）を基本的な幾何的構造として扱うことで、2次元シグマ模型の一般化されたゲージ理論の枠組みを提示する。一般化接 bundle 内の補助1形式を用いて未ゲージ化理論を再定式化し、それらをディラック部分bundle に制限することで、等長変換や大域的対称性を必要とせずに一貫したゲージ理論を体系的に同定する。主な結果として、一貫したゲージ化を許すのは特定の小さなディラック構造に限られ、その結果、余分な自由度の凍結なしにトーラスや円周などのターゲット空間が得られる。

ABSTRACT

One of the central concepts in modern theoretical physics, gauge symmetry, is typically realised by lifting a finite-dimensional global symmetry group of a given functional to an infinite-dimensional local one by extending the functional to include gauge fields. In this contribution we review the construction of gauged actions for two-dimensional sigma models, considering a more general notion to be gauged, namely that of a (possibly singular) foliation. In particular, the original action does not need to have any global symmetry for this purpose. Moreover, reformulating the ungauged theory by means of auxiliary 1-form fields taking values in the generalised tangent bundle over the target, all possible such gauge theories result from restriction of these fields to take values in (possibly small) Dirac structures. This turns all the remaining 1-form fields into gauge fields and leads to the presence of a local symmetry. We recall all needed mathematical notions, those of (higher) Lie algebroids, Courant algebroids, and Dirac structures.

研究の動機と目的

• 大域的対称性や等長変換に依存しないが、代わりに葉構造の幾何学に基づく2次元シグマ模型のゲージ化の一般枠組みを構築すること。
• 一般化幾何学とカウラン代数ダルの枠組みを用いて、従来のリー群作用を超えたゲージ化の概念を拡張すること。
• 一貫したゲージ化が可能となる条件を同定すること、特にターゲット空間における物理的でない自由度の凍結を避けること。
• 一貫したゲージ化が、一般化接 bundle 内の補助1形式を特定の小さなディラック構造に制限することに正確に対応することを示すこと。
• 特に特異な葉構造において、最小結合と非最小結合の役割を明らかにし、非等長方向のゲージ化を可能にする要因を解明すること。

提案手法

• ターゲット多様体の一般化接 bundle に値をとる補助1形式を用いて、未ゲージ化2次元シグマ模型を再定式化する。
• これらの1形式をカウラン代数ダルの小さなディラック部分bundle に制限することで、すべての可能なゲージ理論を同定する。
• 不変性条件 (24)、(31)、(32) を用いて、接続係数 $\omega^{a}_{b}$、$\theta_{a}$、$\phi_{b}$ を通じて一貫したゲージ結合を決定する。
• 普遍作用 (30) を適用して非最小結合を可能とし、最小結合を超える不変性条件を満たすために調整可能なパラメータを導入する。
• 具体的な例（例：$D_{(\rho_{3},\rho_{4})}$ 構造における $\omega^{3}_{4} = -\mathrm{d}X^{2}$）に対して、$\omega^{a}_{b}$ および $\phi_{b}$ の明示的解を構成する。
• 得られた商空間（例：2次元トーラス、円周）が、物理的ターゲット空間としてのゲージ理論と一致し、伝播の自由度が余分に凍結されていないことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大域的対称性や等長変換を仮定しない2次元シグマ模型に対して、一貫したゲージ理論を構築することは可能か？
• RQ2 一般化幾何学を用いた葉構造による一貫したゲージ化が可能となる幾何的条件は何か？
• RQ3 ゲージ化理論のターゲット空間を、葉構造の葉空間に一致させることは可能か？ これにより、物理的でない自由度の凍結を回避できるか？
• RQ4 非最小結合の導入により、非等長方向のゲージ化の範囲がどのように拡張されるか？
• RQ5 カウラン代数ダル内のディラック構造が、一般化幾何学における一貫したゲージ化の分類に果たす役割は何か？

主な発見

• 一貫したゲージ化を許すのは、特定の小さなディラック構造に限られ、$D_{(\rho_{3},\rho_{4})}$ のようなものに限られる。$D_{(\rho_{1})}$ や $D_{(\rho_{2})}$ のような他の構造は、不変性条件を満たす解を有さない。
• $D_{(\rho_{3},\rho_{4})}$ 構造に対して、解 $\omega^{3}_{4} = -\mathrm{d}X^{2}$ は、2次元トーラスをターゲット空間とするゲージ理論を導き、物理的自由度をすべて保存する。
• $D_{(\rho_{1},\rho_{3},\rho_{4})}$ 構造は、$\omega^{1}_{4} = -\mathrm{d}X^{2}$ および $\omega^{4}_{3} = -\mathrm{d}X^{2}$ を通じて、円周をターゲット空間とする。これは、3次元トーラスの葉構造に対する一貫したゲージ化を示している。
• $D_{(\rho_{2},\rho_{3},\rho_{4})}$ 構造に対して、解 $\omega^{2}_{4} = \mathrm{d}X^{1} - (X^{4} + X^{1}X^{2})\mathrm{d}X^{2} + \mathrm{d}X^{3}$ は、円周をターゲット空間とする。これは、3次元ニルマンフォリエーションの葉構造に対する一貫したゲージ化を確認している。
• 非最小結合フレームワークでは、新しいディラック構造 $D'_{(\rho_{4})}$ を用いて、ユークリッド的ワールドシート計量において $\rho_{4}$-葉構造のゲージ化が可能になった。$\theta = (x^{1}x^{2} + x^{4})\mathrm{d}x^{2} - \mathrm{d}x^{3}$ および $\phi = \mathrm{d}x^{2}$ であり、これは最小結合では達成できなかった。
• $\rho_{1}$-葉構造は、非最小結合フレームワークにおいてもゲージ化可能でないことが判明し、すべての葉構造が一貫したゲージ化を許すわけではないことが示された。