[論文レビュー] Gauging spacetime inversions in quantum gravity

Daniel Harlow, Tokiro Numasawa|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2023

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、量子重力において、グローバルな対称性が存在しないことから、時空反転対称性 $ΓΓΓ$ がゲージ化されなければならないと主張している。ユークリッド経路積分が $ΓΓΓ$ 対称性を自動的に実装し、閉じた宇宙では実ヒルベルト空間を強制し、非時空的可逆なローレンツ多様体の含めることを要求する。これにより、AdS/CFT 対応においてこのような幾何が一貫性を保つために不可欠であることが示された。

ABSTRACT

Spacetime inversion symmetries such as parity and time reversal play a central role in physics, but they are usually treated as global symmetries. In quantum gravity there are no global symmetries, so any spacetime inversion symmetries must be gauge symmetries. In particular this includes $\mathcal{CRT}$ symmetry (in even dimensions usually combined with a rotation to become $\mathcal{CPT}$), which in quantum field theory is always a symmetry and seems likely to be a symmetry of quantum gravity as well. In this article we discuss what it means to gauge a spacetime inversion symmetry, and we explain some of the more unusual consequences of doing this. In particular we argue that the gauging of $\mathcal{CRT}$ is automatically implemented by the sum over topologies in the Euclidean gravity path integral, that in a closed universe the Hilbert space of quantum gravity must be a real vector space, and that in Lorentzian signature manifolds which are not time-orientable must be included as valid configurations of the theory. In particular we give an example of an asymptotically-AdS time-unorientable geometry which must be included to reproduce computable results in the dual CFT.

研究の動機と目的

• 時空反転対称性、特に $ΓΓΓ$ を量子重力においてどのようにゲージ化できるかを理解すること。
• $ΓΓΓ$ が量子場理論では対称性である一方で、量子重力ではグローバルな対称性が存在しないという矛盾を解消すること。
• ユークリッド経路積分におけるトポロジーの和が $ΓΓΓ$ 対称性を自動的に実現することを確立すること。
• 閉じた宇宙において、反ユニタリ的時間反転対称性のおかげで、量子重力のヒルベルト空間が実ベクトル空間でなければならないこと。
• 非時空的可逆なローレンツ多様体が量子重力経路積分における物理的配置として含められなければならないことを主張すること。

提案手法

• ユークリッドからローレンツの符号に至る $ΓΓΓ$ の解析接続を分析し、それが1つの空間的自由度と時間の平面における $π$ 回転に対応することを示す。
• ユークリッド量子重力の経路積分形式を用いて、トポロジーの和が自然に $ΓΓΓ$ をゲージ対称性として実装することを主張する。
• 閉じた宇宙における反ユニタリ的時間反転作用素がヒルベルト空間を実ベクトル空間に射影するという議論を適用する。
• 双対 CFT の相関関数を再現するために不可欠である、漸近的に AdS であるが非時空的可逆な時空の明示的例を構築する。
• 共形フレームの遷移と正則関数を用いて、巻き数とオイラー特性数との間の位相的公式を導出する。
• ガウス＝ボネの定理と三角形分割を用いて、オイラー密度と共形フレームのパッチ重なり部における巻き数との関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルな対称性が存在しないにもかかわらず、時空反転対称性 $ΓΓΓ$ を量子重力で一貫してゲージ化する方法は何か？
• RQ2 閉じた宇宙において、反ユニタリ的対称性（たとえば時間反転）をゲージ化した場合、物理的結果はどうなるか？
• RQ3 なぜ非時空的可逆なローレンツ多様体を量子重力経路積分に含めなければならないのか？
• RQ4 ユークリッド経路積分におけるトポロジーの和が $ΓΓΓ$ 対称性をどのように強制するのか？
• RQ5 2次元多様体における量子重力において、共形フレームの巻き数はオイラー特性数をどのように決定するか？

主な発見

• $ΓΓΓ$ 対称性は、ユークリッド重力経路積分におけるトポロジーの和によって自動的に実装され、量子重力経路積分の根本的特徴となる。
• 閉じた宇宙において、$ΓΓΓ$ 演算子の反ユニタリ性のおかげで、量子重力のヒルベルト空間は実ベクトル空間でなければならない。これは物理的状態が複素共役と時間反転に関して不変であることを意味する。
• 非時空的可逆なローレンツ多様体は、量子重力経路積分における有効な配置として含める必要がある。これは、漸近的に AdS であるが非時空的可逆な時空の明示的例によって示された。
• 経路積分に非時空的可逆な幾何を含めることは、双対 CFT における計算可能な結果を再現するために不可欠であり、物理的必要性を示している。
• パッチの重なり部における共形フレームの巻き数は、ガウス＝ボネの定理から導かれた位相的公式によってオイラー特性数と直接関係している。
• 公式 $\chi(\Sigma) = \sum_{\alpha<\beta<\gamma} \int_{V_{\alpha\beta\gamma}} w_{\alpha\beta\gamma} $ は、オイラー特性数が三重重なり部における共形フレームの全巻き数を数えていることを示している。