[論文レビュー] Gauss-Lusztig Decomposition for $GL_q^+(N,R)$ and Representation by q-Tori

Ivan Chi-Ho Ip|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の量子群 $GL_q^+(N,\mathbb{R})$ 及びそのモジュラー二重 $GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R})$ に対してガウス＝ルシュティグ分解を確立し、$q$-トーラス上の正の本質的に自己随伴作用素を用いた明示的表現を構成する。主な貢献は、$uv = q^2 vu$ を満たすクラスター変数およびウェイの対を用いた群の量子パrametrizationであり、$L^2$-空間および正則表現の分解が正の主系列表現の直積分として実現されることを示す。

ABSTRACT

We found an explicit construction of a representation of the positive quantum group $GL_q^+(N,\R)$ and its modular double $GL_{q il[q]}^+(N,\R)$ by positive essentially self-adjoint operators. Generalizing Lusztig's parametrization, we found a Gauss type decomposition for the totally positive quantum group $GL_q^+(N,\R)$ for $|q|=1$, parametrized by the standard decomposition of the longest element $w_0\in W=S_{N-1}$. Under this parametrization, we found explicitly the relations between the standard quantum variables, the relations between the quantum cluster variables, and realizing them using non-compact generators of the $q$-tori $uv=q^2 vu$ by positive essentially self-adjoint operators. The modular double arises naturally from the transcendental relations, and an $L^2(GL_{q il[q]}^+(N,\R))$ space in the von Neumann setting can also be defined.

研究の動機と目的

• 正の量子群 $GL_q^+(N,\mathbb{R})$ 及びそのモジュラー二重を、正の本質的に自己随伴作用素を用いて明示的表現する。
• ルシュティグの全正行列のパラメトライゼーションを、ガウス＝ルシュティグ分解を介して量子設定に一般化する。
• 非コンパクトな $q$-トーラスの生成子を用いて、量子クラスター変数および標準量子変数を実現する。
• ハール型測度および急速減少関数を用いたフォン・ノイマン設定において、$L^2(GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R}))$ 空間を定義する。
• 正則表現 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(N,\mathbb{R}))$ が $L^2(GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R}))$ 上で正の主系列表現の直積分に分解されることを予想する。

提案手法

• 最長ワイル群元 $w_0 \in S_{N-1}$ の縮約分解を用いて、ルシュティグの $G_{>0}$ のパラメトライゼーションを量子設定に一般化する。
• 非可換な量子関係を有する単型パラメータ $a_i$ を用いて、量子群を表現することにより、$GL_q^+(N,\mathbb{R})$ のガウス＝ルシュティグ分解を構成する。
• 関係 $uv = q^2 vu$ を満たすウェイ対 $u, v$ を用いて量子変数を実現し、$L^2(\mathbb{R}^2)$ 上の正の本質的に自己随伴作用素として表現する。
• $q = e^{\pi i b^2}$ および $\tilde{q} = e^{\pi i b^{-2}}$ を含む超越的関係を用いて、モジュラー二重 $GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R})$ を定義する。ここで $b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$、$0 < b < 1$ である。
• $X_{mn}^{ib^{-1}s_{mn}}$ を含む積分作用素のノルム閉包として $C^*$-代数 $C_\infty(GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R}))$ を構成する。関数 $f(s_{ij})$ は滑らかで急速減少するものとする。
• $L^2$-空間 $L^2(GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R}))$ を、ノルム $\|F\|^2 = \int_{\mathbb{R}^{N^2}} \left|f(s_{ij} + (\delta_{i,N} - \delta_{j,N})^2 \frac{iQ}{2}) \right|^2 \prod ds_{ij}$ の $L^2$-完備化として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイル群パラメトライゼーションを用いて、$GL_q(2)$ から高ランクの $GL_q^+(N,\mathbb{R})$ へのガウス＝ルシュティグ分解をどのように一般化できるか？
• RQ2 正の量子群 $GL_q^+(N,\mathbb{R})$ における単型パラメータ $a_i$ とクラスター変数の間の量子関係は何か？
• RQ3 超越的関係と $q$-トーラス作用素を用いて、モジュラー二重 $GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R})$ をどのように実現できるか？
• RQ4 クラスター変数とハール測度を用いて、埋め込みの選択に依存しない $GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R})$ の $L^2$-空間を定義できるか？
• RQ5 正則表現 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(N,\mathbb{R}))$ が $L^2(GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R}))$ 上で正の主系列表現の直積分に分解されるか？

主な発見

• 最長ワイル群元 $w_0$ の縮約分解を用いて、$GL_q^+(N,\mathbb{R})$ のガウス＝ルシュティグ分解を構成し、ルシュティグのパラメトライゼーションを量子設定に一般化した。
• 関係 $uv = q^2 vu$ を満たすウェイ対 $u, v$ を用いて量子変数を実現し、$L^2(\mathbb{R}^2)$ 上の正の本質的に自己随伴作用素 $u = e^{2\pi b x}, v = e^{2\pi b p}$ として表現した。
• 超越的関係 $q$ と $\tilde{q} = e^{\pi i b^{-2}}$ から自然に生じるモジュラー二重 $GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R})$ は、$b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$、$0 < b < 1$ であり、$b \to b^{-1}$ によって実現される。
• $L^2$-空間 $L^2(GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R}))$ は、ノルム $\|F\|^2 = \int_{\mathbb{R}^{N^2}} \left|f(s_{ij} + (\delta_{i,N} - \delta_{j,N})^2 \frac{iQ}{2}) \right|^2 \prod ds_{ij}$ の $L^2$-完備化として定義され、埋め込みの選択に依存しない。
• $C^*$-代数 $C_\infty(GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R}))$ は、$X_{mn}^{ib^{-1}s_{mn}}$ を含む積分作用素のノルム閉包として定義され、関数 $f(s_{ij})$ は滑らかで急速減少する。異なる $X_{mn}$ の実現においても同型である。
• 本稿は、正則表現 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(N,\mathbb{R}))$ が $L^2(GL_{q\tilde{q}}^+(N,\mathbb{R}))$ 上で正の主系列表現の直積分に分解されることを予想し、$N=2$ の場合の一般化を示している。