[論文レビュー] Gaussian approximations for chemostat models in finite and infinite dimensions

Bertrand Cloez, Coralie Fritsch|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、質量構造を有する個体ベースの化学滞留槽モデルにおけるフラクチュエーション過程の中心極限定理を確立し、Sobolev空間内での無限次元ガウス過程への収束を証明する。2次元のCrump-Youngモデルに対しては、明示的な不変分布と絶滅時間の挙動を有する確率微分方程式近似を導出し、これまで誤解されていた長期的ダイナミクスを解明する。

ABSTRACT

In a chemostat, bacteria live in a growth container of constant volume in which liquid is injected continuously. Recently, Campillo and Fritsch introduced a mass-structured individual-based model to represent this dynamics and proved its convergence to a more classic partial differential equation. In this work, we are interested in the convergence of the fluctuation process. We consider this process in some Sobolev spaces and use central limit theorems on Hilbert space to prove its convergence in law to an infinite-dimensional Gaussian process.As a consequence, we obtain a two-dimensional Gaussian approximation of the Crump-Young model for which the long time behavior is relatively misunderstood. For this approximation, we derive the invariant distribution and the convergence to it. We also present numerical simulations illustrating our results.

研究の動機と目的

• 長年の課題である、絶滅と準定常分布の完全な特徴付けが欠落している、確率的Crump-Youngモデルの長期的挙動を理解すること。
• 個体ベースの化学滞留槽モデルの決定的収束を、フラクチュエーションスケールにまで拡張し、フラクチュエーション過程の弱収束がガウス過程に収束することを証明すること。
• 符号付き測度の空間の非距離化可能性に起因する困難を克服し、Sobolev空間内での測度値過程に対する厳密な無限次元中心極限定理を確立すること。
• Crump-Youngモデルのための確率微分方程式近似を導出し、不変分布および絶滅時間ダイナミクスを捉えること。
• 数値シミュレーションを用いて近似を検証し、特定のパラメータ領域において、他の拡散過程と比較して元のモデルをより良く再現することを確認すること。

提案手法

• 個体の離散的生死イベントと連続的基質動態を有する質量構造を有する個体ベースのプロセスとして化学滞留槽をモデル化し、人口および基質レベルを符号付き測度値過程で表現する。
• Sobolev空間の枠組みにおいて、緊密性と一意性の議論を用いて、正規化されたフラクチュエーション過程の弱収束が無限次元退化ガウス過程に収束することを証明する。
• Hilbert空間上のマルティンゲール技法（Métivier, 1984に従う）を用いて緊密性を確立し、Sobolev空間のHilbert構造を活用して、過程の符号付き測度性を扱う。
• 無限次元モデルを2次元のCrump-Youngモデルに集約することで有限次元化する。ここで、人口と基質は単一の人口質量と基質濃度に集約される。
• 有限次元における中心極限定理を適用して、元のモデルから得られる漂移項および拡散係数を持つ拡散過程として、Crump-Youngモデルの確率微分方程式近似を導出する。
• 伊藤の公式および爆発に関するFellerのテストを用いて、拡散近似の絶滅時間を解析し、成長関数に関する一般条件のもとで、有限時間内に絶滅する確率が正であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量構造を有する個体ベースの化学滞留槽モデルのフラクチュエーション過程は、無限次元において弱収束してガウス過程に収束するか？
• RQ2 確率的Crump-Youngモデルの長期的挙動、特にその不変分布および絶滅時間の存在と性質は何か？
• RQ3 中心極限定理から導かれたガウス近似は、数値的挙動および絶滅ダイナミクスの面で、元のCrump-Youngモデルとどのように比較されるか？
• RQ4 Crump-Youngモデルの拡散近似が、正の確率で有限時間内に絶滅を示す条件は何か？
• RQ5 確率的近似の不変分布は明示的に特徴付け可能であり、それが元のモデルの真の長期的挙動を反映しているか？

主な発見

• 個体ベースの化学滞留槽モデルの正規化フラクチュエーション過程は、適切なSobolev空間内において、無限次元退化ガウス過程に弱収束する。
• 2次元のCrump-Youngモデルにおいて、中心極限定理により得られる確率微分方程式近似の不変分布は明示的に特徴付けられる。
• 拡散近似の絶滅時間はほとんど確実に有限であり、すべての正の初期条件に対して、任意の有限時間区間内での絶滅確率が正である。
• 絶滅時間分布はLyapunov型の条件を満たし、過程はFokker-Planck方程式から導かれる必要条件を満たす準定常分布を示す。
• 数値的シミュレーションにより、導出された拡散過程が、特に絶滅ダイナミクスを捉える面で、他の近似と比較して特定のパrameter領域において元のCrump-Youngモデルをより良く再現することが確認された。
• 本結果により、成長関数の単調性仮定を要しない、Crump-Youngモデルの有限時間内での絶滅の新たな証明が得られ、Colletら（2013a）の結果を拡張した。