[論文レビュー] Gaussian Matrix Product States

Norbert Schuch, Michael M. Wolf+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限次元スピン系における行列積状態（MPS）の一般化として、調和振動子の格子系に適応したガウス型行列積状態（GMPS）を導入する。これは、有限次元MPSと類似したガウス型もつれに基づく構成法を用いる。本稿では、すべての1次元純粋なGMPSが指数関数的に減衰する相関関係を示し、局所的二次ハミルトニアンの基底状態であることを証明している。相関長は、単位円内にあるフーリエ変換された共分散行列の極によって決定される。

ABSTRACT

We introduce Gaussian Matrix Product States (GMPS), a generalization of Matrix Product States (MPS) to lattices of harmonic oscillators. Our definition resembles the interpretation of MPS in terms of projected maximally entangled pairs, starting from which we derive several properties of GMPS, often in close analogy to the finite dimensional case: We show how to approximate arbitrary Gaussian states by MPS, we discuss how the entanglement in the bonds can be bounded, we demonstrate how the correlation functions can be computed from the GMPS representation, and that they decay exponentially in one dimension, and finally relate GMPS and ground states of local Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 有限次元スピン系からの行列積状態（MPS）を連続変数系の調和振動子系へ一般化すること。
• 有限次元MPSのもつれに基づく構成法を保ちながら、ガウス型MPSの枠組みを構築すること。
• 1次元系におけるガウス型MPSの相関構造ともつれ性質を同定すること。
• GMPSと局所的二次ハミルトニアンの基底状態との間の対応関係を確立すること。
• 無限大スピンチェーンにおけるガウス状態の効率的バリエーショナルシミュレーションを、定数個のパラメータで記述可能にする手法の実現

提案手法

• 最大もつれ状態のペアに作用する線形写像を用いてGMPSを定義し、連続変数系へのMPS構成法の一般化を実現する。
• GMPSの共分散行列をフーリエ空間で表現し、cos(ϕ)に関する多項式の比として表される有理関数として記述する。
• 留数の計算を用いて、フーリエ表現から実空間における2点相関関数を計算する。
• 複素平面における有理関数の極の位置を解析することで相関長を導出し、特に単位円内にある最大の極に注目する。
• ハミルトニアンのフーリエ変換と状態の共分散行列との関係を逆算し、与えられたGMPSが基底状態となる局所的二次ハミルトニアンを構成する。
• 局所的ハミルトニアンがGMPSを基底状態として持つための必要十分条件として、そのハミルトニアン行列の行列式がcos(ϕ)の多項式の平方であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元スピン系におけるMPSの性質（もつれ構造や計算の有効性）を保ちつつ、調和振動子系へ一般化することは可能か？
• RQ2 1次元ガウス型行列積状態における2点相関関数はどのように振る舞うか？
• RQ3 ガウス型MPSにおける相関長は何かによって決定され、明示的に計算可能か？
• RQ4 どのような条件下でガウス型MPSが局所的二次ハミルトニアンの正確な基底状態となるか？
• RQ5 熱力学的極限において、翻訳不変なガウス状態を、定数個のパラメータで効率的にパラメータ化できるか？

主な発見

• 1次元調和振動子チェーン上のすべての純粋で翻訳不変なガウス状態は、正確にガウス型行列積状態（GMPS）として表現可能である。
• 1次元GMPSにおける2点相関関数は距離とともに指数関数的に減衰し、相関長はフーリエ変換された共分散行列の主要な極が単位円内にある位置によって決定される。
• 相関長は、分母多項式d(z)の単位円内にある最大の零点の大きさの逆対数として明示的に与えられる。
• すべてのGMPSは、有理関数表現における多項式の次数に比例する有界な相互作用範囲を持つ局所的二次ハミルトニアンの正確な基底状態である。
• 局所的ハミルトニアンがGMPSを基底状態として持つための必要十分条件は、そのハミルトニアン行列式がcos(ϕ)の多項式の平方であることである。これはハミルトニアンに非自明な代数的制約を課す。
• 本フレームワークにより、無限大スピンチェーンの極限においても、翻訳不変なガウス状態を定数個のパラメータで記述可能となり、効率的なバリエーショナル最適化が可能となる。