[論文レビュー] Gaussian Process and Levy Walk under Stochastic Non-instantaneous Resetting and Stochastic Rest

Tian Zhou, Pengbo Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2021

Diffusion and Search Dynamics参考文献 50被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、移動、非即時リセット（帰還）、および休息の3段階からなる確率的過程を研究しており、粒子は移動段階でブラウン運動またはボールスティックLévyウォークのダイナミクスに従う。本稿では、さまざまな帰還メカニズム（一定速度、加速度、調和力）と確率的休息時間のもとで、漸近的平均二乗変位（MSD）の振る舞いや定常分布を導出し、リセットが過程を局在化させ、輸送特性を変化させることを示している。ブラウン運動の場合には、第一到達時間の正確な結果が得られている。

ABSTRACT

A stochastic process with movement, return, and rest phases is considered in this paper. For the movement phase, the particles move following the dynamics of Gaussian process or ballistic type of L\'evy walk, and the time of each movement is random. For the return phase, the particles will move back to the origin with a constant velocity or acceleration or under the action of a harmonic force after each movement, so that this phase can also be treated as a non-instantaneous resetting. After each return, a rest with a random time at the origin follows. The asymptotic behaviors of the mean squared displacements with different kinds of movement dynamics, random resting time, and returning are discussed. The stationary distributions are also considered when the process is localized. Besides, the mean first passage time is considered when the dynamic of movement phase is Brownian motion.

研究の動機と目的

• 移動、非即時帰還、および確率的休息の3段階からなる確率的過程をモデル化すること。
• さまざまな帰還ダイナミクス（一定速度、加速度、調和力）のもとでの漸近的平均二乗変位（MSD）を分析すること。
• 過程が局在化する場合の定常分布を導出すること。
• ブラウン運動の場合の確率的リセットにおける平均第一到達時間（MFPT）を計算すること。
• 有限時間の帰還と休息の段階を組み込んだ、即時リセットに関する先行研究の拡張すること。

提案手法

• 移動（ガウス分布またはLévyウォーク）、帰還（一定速度、加速度、または調和力による非即時帰還）、休息（確率的持続時間）の3段階からなる確率的モデルを提案する。
• 移動段階の伝搬関数 h(x,t) と帰還関数 R(τ; Mηi) を用い、帰還中の位置の進化をモデル化する。
• 移動時間 ψm(η)、帰還時間 ρi、休息時間 φr(ξ) の確率密度関数（PDF）を含む積分方程式を用いて、各段階の結合確率密度を導出する。
• ラプラス変換と s が小さい場合の漸近的解析を用い、MSD および MFPT の長時間挙動を導出する。
• ボールスティックLévyウォークの漸近的密度を分析するために、Lamperti分布を用いる。
• 逐次超幾何関数と積分表現を用いて、定常状態および第一到達統計量を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非即時リセットは、ガウス的およびLévyウォークダイナミクスにおける長時間平均二乗変位（MSD）にどのように影響するか？
• RQ2 リセットによって局在化する系において、過程の定常分布は何か？
• RQ3 さまざまな帰還メカニズム（一定速度、加速度、調和力）は、漸近的MSDおよび第一到達時間にどのように影響するか？
• RQ4 確率的休息時間の影響は、全体の輸送特性および局在化にどのように現れるか？
• RQ5 非即時帰還を伴う確率的リセット下で、ターゲットへの第一到達時間はどのように変化するか？

主な発見

• MSDは、帰還メカニズムと休息時間の統計に応じて、球状（⟨x²⟩∼t²）から拡散的（⟨x²⟩∼t）へのクロスオーバーを示す。
• 確率的リセットを伴うブラウン運動の場合、ターゲットへの平均第一到達時間（MFPT）は有限であり、ラプラス変換と漸近的解析を用いて解析的に導出された。
• 過程が局在化する場合、定常分布が存在し、非ガウス分布である。その形状は帰還メカニズムと休息時間分布に依存する。
• ボールスティックLévyウォークにおいて、非即時リセット下で漸近的密度はLamperti分布に従い、長時間挙動の正確な解析が可能になる。
• リセットにより系は局在化し、特に調和力などの高速な帰還メカニズムでは、一定速度よりも局在化が顕著になる。
• 第一到達時間分布の漸近的挙動はラプラス空間で導出され、帰還関数と休息時間PDFに依存することが示された。