[論文レビュー] Gaussian Process Morphable Models

Marcel Lüthi, Christoph Jud+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Morphological variations and asymmetry被引用数 15

ひとこと要約

この論文では、ガウス過程を用いてカルフーネン＝ロイェフ展開とニストルム近似を用いて形状変異をモデル化する、統計的形状モデルの一般化であるガウス過程可変形状モデル（GPMMs）を紹介する。この手法により、トレーニングデータに依存しない柔軟で連続的な形状モデリングが可能となり、マルチスケールおよび空間的に変化する登録が可能になり、モデリングとフィッティングを分離することで、セグメンテーションと登録が向上する。

ABSTRACT

Statistical shape models (SSMs) represent a class of shapes as a normal distribution of point variations, whose parameters are estimated from example shapes. Principal component analysis (PCA) is applied to obtain a low-dimensional representation of the shape variation in terms of the leading principal components. In this paper, we propose a generalization of SSMs, called Gaussian Process Morphable Models (GPMMs). We model the shape variations with a Gaussian process, which we represent using the leading components of its Karhunen-Loeve expansion. To compute the expansion, we make use of an approximation scheme based on the Nystrom method. The resulting model can be seen as a continuous analogon of an SSM. However, while for SSMs the shape variation is restricted to the span of the example data, with GPMMs we can define the shape variation using any Gaussian process. For example, we can build shape models that correspond to classical spline models, and thus do not require any example data. Furthermore, Gaussian processes make it possible to combine different models. For example, an SSM can be extended with a spline model, to obtain a model that incorporates learned shape characteristics, but is flexible enough to explain shapes that cannot be represented by the SSM. We introduce a simple algorithm for fitting a GPMM to a surface or image. This results in a non-rigid registration approach, whose regularization properties are defined by a GPMM. We show how we can obtain different registration schemes,including methods for multi-scale, spatially-varying or hybrid registration, by constructing an appropriate GPMM. As our approach strictly separates modelling from the fitting process, this is all achieved without changes to the fitting algorithm. We show the applicability and versatility of GPMMs on a clinical use case, where the goal is the model-based segmentation of 3D forearm images.

研究の動機と目的

• 従来のPCAに基づく統計的形状モデル（SSMs）を一般化し、線形でデータ駆動の形状変異を、連続的で確率的なガウス過程フレームワークに置き換える。
• 大規模なトレーニングデータセットに依存せずに、スプライン関数や径方向基底関数を含む任意のカーネル関数を許容することで、形状モデリングを可能にする。
• 形状モデリングとフィッティングを分離する統一フレームワークを構築し、事前分布の設計により柔軟な登録スキームを実現する。
• ニストルム法を用いて、ガウス過程変形の低ランク近似を数値的に効率的に計算する手法を提供する。
• 臨床的3次元画像解析、特に前腕のセグメンテーションと非剛性登録において、GPMMsの有効性を示す。

提案手法

• 形状変形をガウス過程 $ u \sim \mathcal{GP}(\mu, k) $ としてモデル化し、$ \mu $ を平均変形、$ k $ を共分散関数とする。
• ガウス過程のカルフーネン＝ロイェフ展開の最初の $ r $ 成分を用いて表現する：$ u = \mu + \sum_{i=1}^{r} \alpha_i \sqrt{\lambda_i} \phi_i $、ここで $ \alpha_i \sim \mathcal{N}(0,1) $ である。
• 定義域上の点のサブセットから、カーネル行列の固有関数および固有値を効率的に近似するためにニストルム法を用いる。
• 適切なカーネル関数を定義することで登録事前分布を構築し、マルチスケール、空間的に変化する、またはランドマーク制約付きの正則化を可能にする。
• 非剛性登録アルゴリズムを用いてGPMMを表面または画像にフィットさせ、GPMM事前分布を変形正則化に用いる。
• 完全なGPからサンプリングし、低ランクGP回帰を用いて再構成誤差を測定することで、近似の品質を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス過程を用いることで、PCAに基づく統計的形状モデルを連続的でデータに依存しないフレームワークに一般化できるか？
• RQ2 限定された数の点から、ガウス過程のカルフーネン＝ロイェフ展開を効率的に近似できるか？
• RQ3 GPMMsは、適合アルゴリズムを変更せずに、マルチスケールや空間的に変化するような柔軟な登録スキームをサポートできるか？
• RQ4 カーネル関数の選択が、得られる形状モデルの表現力および近似品質にどのように影響するか？
• RQ5 GPMMsは、臨床的3次元画像処理タスクにおけるモデルベースのセグメンテーションおよび画像登録をどの程度向上できるか？

主な発見

• GPMMフレームワークは、ガウス過程とカルフーネン＝ロイェフ展開を組み合わせることで、トレーニングデータの線形空間を越えた柔軟な形状変異の連続的で低次元の表現を実現する。
• ニストルム法を用いることで、大規模な定義域に対しても、主成分の固有関数および固有値を効率的に計算可能であり、分散の99％をカバーする場合に近似誤差が1％未満に抑えられる。
• 任意のカーネル関数（径方向基底関数やスプライン関数を含む）を用いることができ、これにより、何らトレーニングデータがなくてもモデルを構築できる。
• 複数のカーネル関数を組み合わせることで、マルチスケールまたは空間的に変化する性質を持つ事前分布を生成でき、登録の柔軟性が向上する。
• 臨床的3次元前腕画像セグメンテーションにおいて、GPMMsは学習済みの形状統計を組み込みつつ、未知の形状に対しても柔軟性を保つため、標準的なアクティブ形状モデルを上回る性能を示す。
• フレームワークにより、同一の適合アルゴリズムが異なるGPMM事前分布に適用可能であり、モデリングと適合の分離が可能で、モジュラリティを示している。