[論文レビュー] Gaussian random permutation and the boson point process

Inés Armendáriz, Pablo A. Ferrari+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、二乗移動量に基づくハミルトニアンに従って点配置と置換が制御される、ℝᵈ 上の無限体積ガウス型確率的置換を構築する。臨界密度 ρ ≤ ρ_c の場合にポisson型ガウス型ループスープを、臨界密度 ρ > ρ_c の場合に独立したガウス型ランダムインタリューブレーションを組み合わせることで、ボソン点過程と一致するギブス測度を構成する。これにより、自由ボソン気体のファインマン表現と空間的確率的置換との間の厳密な接続を確立する。

ABSTRACT

We construct an infinite volume spatial random permutation $(\mathsf X,\sigma)$, where $\mathsf X\subset\mathbb R^d$ is locally finite and $\sigma:\mathsf X o \mathsf X$ is a permutation, associated to the formal Hamiltonian $$ H(\mathsf X,\sigma) = \sum_{x\in \mathsf X} \|x-\sigma(x)\|^2. $$ The measures are parametrized by the point density $ ho$ and the temperature $\alpha$. Spatial random permutations are naturally related to boson systems through a representation originally due to Feynman (1953). Let $ ho_c= ho_c(\alpha)$ be the critical density for Bose-Einstein condensation in Feynman's representation. Each finite cycle of $\sigma$ induces a loop of points of~$\mathsf X$. For $ ho\le ho_c$ we define $(\mathsf X, \sigma)$ as a Poisson process of finite unrooted loops of a random walk with Gaussian increments that we call Gaussian loop soup, analogous to the Brownian loop soup of Lawler and Werner (2004). We also construct Gaussian random interlacements, a Poisson process of doubly infinite trajectories of random walks with Gaussian increments analogous to the Brownian random interlacements of Sznitman (2010). For $d\ge 3$ and $ ho> ho_c$ we define $(\mathsf X,\sigma)$ as the superposition of independent realizations of the Gaussian loop soup at density $ ho_c$ and the Gaussian random interlacements at density $ ho- ho_c$. In either case we call $(\mathsf X, \sigma)$ a Gaussian random permutation at density $ ho$ and temperature $\alpha$. The resulting measure satisfies a Markov property and it is Gibbs for the Hamiltonian $H$. Its point marginal $\mathsf X$ has the same distribution as the boson point process introduced by Shirai-Takahashi (2003) in the subcritical case, and by Tamura-Ito (2007) in the supercritical case.

研究の動機と目的

• ℝᵈ 上に点密度 ρ と温度 α を指定した、並進不変で無限体積の空間的確率的置換 (X, σ) を構築すること。
• 自由ボソン気体のファインマン表現を通じて、空間的確率的置換とボソン点過程との間の関係を確立すること。
• 密度 ρ が臨界密度 ρ_c(α) より小さいか大きいかに応じて、二つの異なるプロセス—ガウス型ループスープとガウス型ランダムインタリューブレーション—を定義し、それらを分析すること。
• 構築された確率的置換の点マージナル X が、白井・高橋（2003年）および田村・伊藤（2007年）が定義するボソン点過程と同一分布に従うことを証明すること。

提案手法

• 空間的置換のエネルギーを制御するハミルトニアン H(X, σ) = ∑_{x∈X} ‖x − σ(x)‖² を定義する。
• σ が誘導するループごとの積に分解可能なラドン＝ニコディム密度を因子分解し、ループに基づく構成を可能にする。
• ガウス型増分を持つループのポアソン過程としてガウス型ループスープを構成する。これはブラウン運動のループスープに類似している。
• ρ > ρ_c の場合、密度 ρ_c におけるループスープと、密度 ρ − ρ_c における独立なガウス型ランダムインタリューブレーションを重ね合わせる。
• ラプラス関数型と相関関数を用いて、得られた点過程を特徴づけ、既知のボソン点過程と比較する。
• レナードの定理とキャンベルの公式を用いて、確率的置換の点マージナルとボソン点過程との等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた点密度 ρ と温度 α に対して、無限体積における空間的確率的置換のギブス測度をどのように構築できるか？
• RQ2 臨界密度 ρ ≤ ρ_c と超臨界密度 ρ > ρ_c の両 regimes において、ガウス型確率的置換とボソン点過程との関係は何か？
• RQ3 ループスープとランダムインタリューブレーションの成分は、それぞれの密度領域において置換の構造にどのように寄与するか？
• RQ4 ガウス型確率的置換の点マージナルが、白井・高橋と田村・伊藤が定義するボソン点過程と一致することを示せるか？
• RQ5 臨界密度 ρ_c(α) は、ループ主導とインタリューブレーション主導の挙動の遷移を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• ρ > ρ_c の場合、ガウス型ループスープ（密度 ρ_c）とガウス型ランダムインタリューブレーション（密度 ρ − ρ_c）の重ね合わせとして、ガウス型確率的置換 (X, σ) が構築される。ρ ≤ ρ_c の場合、ループスープのみで構成される。
• 得られた測度は、ハミルトニアン H(X, σ) = ∑_{x∈X} ‖x − σ(x)‖² に対してギブス的であり、点密度 ρ に対して並進不変である。
• 点マージナル X は、ボソン点過程 νρ = ν_boson_ρ と同一分布に従う。白井・高橋（2003年）は ρ ≤ ρ_c の場合、田村・伊藤（2007年）は ρ > ρ_c の場合に定義する。
• d ≥ 3 かつ ρ > ρ_c の場合、超臨界ボソン点過程 ν_boson_ρ は、強度 ½(Φ₁ + √(2(ρ − ρ_c)))² + ½Ψ₁² のコックス過程である。ここで Φ₁ と Ψ₁ は、共分散 K₁ を持つ独立な中心化ガウス場である。
• ガウス型ループスープの n ポイント相関関数は、ボソン点過程 ν_ST_λ と一致する。これにより、レナードの定理から、対応する点過程が等しいことが示される。
• 超臨界プロセス ν_boson_ρ のラプラス関数型は、重ね合わせ ν_ST_1 ∗ ν_TI_ρ−ρ_c のそれと一致し、測度の等価性が確認される。