[論文レビュー] GCH implies the existence of many rigid almost free abelian groups

Rüdiger Göbel, Saharon Shelah|ArXiv.org|Nov 22, 2000

Advanced Topology and Set Theory参考文献 29被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、一般化連続体仮説（G.C.H.）の下で、非可算基数 λ ≥ ℵ₁ において、所望の可算自由な自己準同型環と自明な双対をもつ強く λ-自由なアーベル群が存在することを確立している。著者らは、シェラの強制法とラダー系の組合せ論的道具と、新規のステップ補題を用いて、連続した基数段階を経て性質を引き上げることで、このような剛性を持つほとんど自由群を構成した。これは、従来のZFC結果をより大きな基数へと拡張したものである。

ABSTRACT

We begin with the existence of groups with trivial duals for cardinals aleph_n (n in omega). Then we derive results about strongly aleph_n-free abelian groups of cardinality aleph_n (n in omega) with prescribed free, countable endomorphism ring. Finally we use combinatorial results of [Sh:108], [Sh:141] to give similar answers for cardinals >aleph_omega. As in Magidor and Shelah [MgSh:204], a paper concerned with the existence of kappa-free, non-free abelian groups of cardinality kappa, the induction argument breaks down at aleph_omega. Recall that aleph_omega is the first singular cardinal and such groups of cardinality aleph_omega do not exist by the well-known Singular Compactness Theorem (see [Sh:52]).

研究の動機と目的

• 可算基数 ℵ₁ における自己準同型環が所望のものであるような ZFC におけるアーベル群の結果を、より大きな非可算基数へと拡張すること。
• V = L やマーティンの公理を仮定せずに、このような剛性を持つほとんど自由アーベル群が、より弱い集合論的仮定のもとで存在しうるかどうかを調査すること。
• G.C.H. が ℵω を超える strongly free アーベル群の自己準同型環の実現に果たす役割の限界を特定すること。
• 特に一般化されたステップ補題と u-自由性条件を含む、新しい組合せ論的・代数的技法を開発し、極限段階での構成に役立てること。
• ZFC + G.C.H. と、特に特徴づけられる自由性タイプの制約のもとで、これらの群の存在が ZFC + G.C.H. と整合的であることを示すこと、すなわち特異極限基数 ℵω+1 に対しても成立すること。

提案手法

• 後続段階での自由部分加群と自由商をもつ連続的 λ-フィルトレーションを用いて、強く λ-自由なアーベル群を構成すること。
• 後続段階でのモジュール拡張を保証する新しいステップ補題を適用し、自己準同型環構造と自明な双対を維持すること。
• n-ラダー系と静止部分集合を用いて、極限順序数における自由性と自己準同型の振る舞いを制御すること。
• 極限順序数における和集合の自由性を保証する一般化された u-自由性条件（命題 7.3）を用いること。
• シェラのラダー系と予測原理に関する組合せ論的道具を活用し、正しい自己準同型環の構成を導くこと。
• 基本元と固定生成元に関する関係を用いて、自己準同型の拡張が消えたり A に属するように保証することで、構成された群 G が EndZG = A および G∗= 0 を満たすことを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 V = L より弱い集合論的仮定のもとで、λ > ℵ₁ に対して、所望の可算自由自己準同型環をもつ strongly λ-free アーベル群を構成することは可能か？
• RQ2 G.C.H. は、ℵ₁ の場合を除く、このような剛性を持つほとんど自由群の存在を可能にする上で、どのような役割を果たすか？
• RQ3 共終度が非可算で ω に共終でない極限順序数において、強いつ自由アーベル群の構成において自由性をどのように保てるか？
• RQ4 構成を ℵω を超えてどの程度まで拡張できるか、そして特異コンパクト性がもたらす制限は何か？
• RQ5 G.C.H. の下で、任意の可算自由 R-代数 R が、非可算基数の strongly free アーベル群の自己準同型環として実現可能か？

主な発見

• ZFC + G.C.H. の下で、任意の可算自由 R-代数 A に対して、基数 ℵω+1 で、EndRG = A かつ自由性タイプ ⟨ℵω+1, ℵ1⟩ をもつ strongly ℵω+1-free R-加群 G が存在する。
• 正則非可算基数 µ に対して、|G| = λ = 2µ = µ+ かつ G∗= 0 をみたす strongly λ-free R-加群の存在が示された。ただし、サイズ µ で H∗= 0 をみたすような加群 H が存在するものとする。
• 任意の正則非可算基数 λ = µ+ および strongly µ-free な A-加群 H に対して、EndRH = A かつ自由性タイプ u = ⟨µ1, ..., µn⟩ が成り立つとき、EndRG = A をみたす strongly λ-free 加群 G が存在する。ただし、λ が適切なラダー系をもつ静止的かつ非小規模な部分集合 S をもつことが条件である。
• 極限段階での構成に成功したのは、一般化された u-自由性条件（命題 7.3）を用いたためであり、これにより極限順序数における和集合が自由性を保った。
• 一般には、結果を ℵω+1 を超えて拡張することはできない。ZFC + G.C.H. のモデルにおいて、ℵω2+1-自由なサイズ ℵω2+1 の群が実際に自由である例が存在する。
• 主な技術的革新は、帰納的構成における後続段階での自己準同型環と双対構造を制御可能な新しいステップ補題である。