[論文レビュー] Gelfand-Kirillov Dimensions of Highest Weight Harish-Chandra Modules for $SU(p,q)$

Zhanqiang Bai, Xun Xie|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Lusztigのa関数とヤング盤を用いた組合せ論的アルゴリズムを開発し、$SU(p,q)$の最高族ハリシュ・チャンドラ加群のゲルファンド＝キリロフ（GK）次元を計算する。GK次元は整数$ \langle \lambda + \rho, \beta^\vee \rangle$が増加するにつれて厳密に減少することを証明し、関連する多様体を$ \mathfrak{p}^+$における$K_{\mathbb{C}}$軌道の閉包として完全に特徴づけ、その次元は$m(n-m)$である。ここで$m$は関連するヤング盤の2列目の要素数である。

ABSTRACT

Let $ (G,K) $ be an irreducible Hermitian symmetric pair of non-compact type with $G=SU(p,q)$, and let $ λ$ be an integral weight such that the simple highest weight module $ L(λ) $ is a Harish-Chandra $ (\mathfrak{g},K) $-module. We give a combinatoric algorithm for the Gelfand-Kirillov dimension of $ L(λ) $. This enables us to prove that the Gelfand-Kirillov dimension of $ L(λ) $ decreases as the integer $ \langleλ+ρ,β^\vee angle $ increases, where $ρ$ is the half sum of positive roots and $β$ is the maximal noncompact root. As a byproduct, we obtain a description on the associated variety of $ L(λ) $.

研究の動機と目的

• $G = SU(p,q)$の最高族$(\mathfrak{g},K)$-加群のGK次元を計算する組合せ論的アルゴリズムの開発。
• 既知のユニタリの場合の結果を一般化し、GK次元が$\langle \lambda + \rho, \beta^\vee \rangle$が増加するにつれて減少することを、すべての最高族ハリシュ・チャンドラ加群に拡張すること。
• このような加群の関連多様体を$\mathfrak{p}^+$における$K_{\mathbb{C}}$-軌道の閉包として完全に記述すること。
• 加群$P(\lambda)$のヤング盤の構造と$\operatorname{GKdim}L(\lambda)$および関連多様体の間の明確な関係を確立すること。

提案手法

• $\lambda$の整数ウェイル群に関連するウェイル群$W_{[\lambda]}$にLusztigのa関数を適用し、$w$が$\lambda$のドット軌道において最小長さを持つとき、$\operatorname{GKdim}L(\lambda) = |\Phi^+| - \mathbf{a}_{[\lambda]}(w)$となることを利用。
• $\lambda + \rho = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)$に対応するヤング盤の集合$P(\lambda)$を構成し、$P(\lambda)$の形状がGK次元を決定することを用いる。
• 定理5.6の適用により、$P(\lambda)$の2列目の要素数$m$が$\operatorname{GKdim}L(\lambda) = m(n - m)$を通じてGK次元と関係づけられることを示す。
• 翻訳ファンクターとヤング盤への操作を用いて、同じ$K_{\mathbb{C}}$-軌道の閉包に属する異なる重み間のGK次元を比較する。
• $L(\lambda)$の関連多様体を、$\mathfrak{p}^+$における次元$m(n - m)$の$K_{\mathbb{C}}$-軌道の閉包$\overline{\mathcal{O}}_m$として特定する。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(n)$の場合に問題を還元するためにJantzenの翻訳ファンクターを用い、$\mathfrak{sl}(n)$に対してロビンソン＝シェンステッド対応を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SU(p,q)$の最高族$(\mathfrak{g},K)$-加群のGK次元は、$\langle \lambda + \rho, \beta^\vee \rangle$が増加するにつれて減少するか？
• RQ2 ヤング盤に基づく組合せ論的アルゴリズムによって、このような加群のGK次元を計算できるか？
• RQ3 $SU(p,q)$の最高族$(\mathfrak{g},K)$-加群の関連多様体の正確な構造は何か？
• RQ4 関連するヤング盤の2列目の要素数は、GK次元および関連多様体とどのように関係するか？
• RQ5 このような加群のGK次元がゼロになる条件は何か？

主な発見

• 重み$\lambda = \tilde{\lambda} + z\zeta$に対する$L(\lambda)$のゲルファンド＝キリロフ次元は、 $\operatorname{GKdim}L(\tilde{\lambda} + z\zeta) = \begin{cases} pq, & z < \max\{p,q\} \\ (z+1)(n-1-z), & \max\{p,q\} \leq z \leq n-1 \\ 0, & z \geq n \end{cases}$ で与えられる。
• 整数$z = \langle \lambda + \rho, \beta^\vee \rangle$が増加するにつれて、$L(\lambda)$のGK次元は厳密に減少し、$z \in \mathbb{Z}$において$\operatorname{GKdim}L(\tilde{\lambda} + z\zeta)$は弱く減少する。
• $L(\lambda)$の関連多様体は、$\mathfrak{p}^+$における次元$m(n - m)$の$K_{\mathbb{C}}$-軌道の閉包$\overline{\mathcal{O}}_m$である。ここで$m$はヤング盤$P(\lambda)$の2列目の要素数である。
• 非整数重み$\lambda$に対しては、$P(\lambda)$は2つの単一列ヤング盤から構成され、$\operatorname{GKdim}L(\lambda) = pq$であり、関連多様体は$\overline{\mathcal{O}}_r$（$r = \min\{p,q\}$）である。
• $z \geq n$のとき、GK次元は0であり、関連多様体は全空間$\mathfrak{p}^+$である。これは$\overline{\mathcal{O}}_n = \mathfrak{p}^+$に対応する。
• $\mathbb{Z}$-区間$I_{\tilde{\lambda}}$上でGK次元は一定であり、$z \in I_{\tilde{\lambda}} \cap \mathbb{Z}$における$P(\tilde{\lambda} + z\zeta)$の形状の不変性のおかげで、一様な計算が可能になる。