[論文レビュー] Gelfand-Shilov spaces, Structural and Kernel theorems

Zagorka Lozanov-Crvenković, D. Perišić+1 more|ArXiv.org|Jun 15, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、調和振動子の固有関数とフーリエ・エルミート係数の特徴付けを用いて、ルーミエ型およびヴォルマール型のゲルファンド＝シロフ空間の構造的定理および核定理を確立する。双対空間に属する任意の分布は有界関数の微分による表現を備え、このような空間間の連続線形作用素は、より大きなゲルファンド＝シロフ空間に属する一意な核から生じることを示し、これにより、基本的長さを伴う擬微分作用素および量子場理論への応用が可能になる。

ABSTRACT

It was shown recently that the space isomorphic with an Gelfand Shilov space is well adapted for the use in quantum field theory with a fundamental length. It is our believe that all Gelfand Shilov spaces, especially those with quasianalytic test function spaces, are good domains for the quantum field theory. The theory requires technical results from the theory of generalized functions and not merely differential calculus and well defined Fourier transform, but also the kernel theorem and the structural theorem. In the paper we give the structural (regularity) theorem and kernel theorem for Gelfand-Shilov spaces, of Roumieu and Beurling type.

研究の動機と目的

• ルーミエ型およびヴォルマール型の両方のゲルファンド＝シロフ空間の構造的定理および核定理を、統一的かつ初等的な証明で確立すること。
• これらの空間が、特に基本的長さスケールを伴う量子場理論のための適切な定義域であることを示すこと。
• 古典的ゲヴレーの場合を越えて、一般化されたゲルファンド＝シロフ空間への擬微分作用素の理論およびウェイの変換の拡張を実現すること。
• 準解析的および非準解析的列を用いた、緩やかな超関数および超関数のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 双対空間に属する分布の表現に、調和振動子の固有関数（エルミート関数）を基底として用いる。
• ランゲンブルフおよび著者らの独立的結果に基づいて、ゲルファンド＝シロフ関数のフーリエ・エルミート係数の特徴付けを用いる。
• シンモンズのアイデアを応用し、作用素 $ \left(-\frac{d^2}{dx^2} + x^2 - 1\right)^\beta $ を用いて、有界関数の微分を含む級数として分布を表現する。
• ゲルファンド＝シロフ空間を定義するために、ノルム $ \|\varphi\|_{{\mathcal{S}}^{M_p},m} = \sup_{\alpha,\beta} \frac{m^{|\alpha|+|\beta|}}{M_{|\alpha|}M_{|\beta|}} \|(1+x^2)^{\beta/2}\varphi^{(\alpha)}(x)\|_{L^\infty} $ を用いる。
• プロジェクト型および帰納型の極限構造を用いて、それぞれ $ {\mathcal{S}}^{(M_p)} $ および $ {\mathcal{S}}^{\{M_p\}} $ を定義する。
• 非自明性およびフーリエ変換および微分の下での閉包性を保証するため、条件 (M.1)、(M.2)、(M.3)" および (M.3)"’ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限の実解析を用いて、準解析的および非準解析的両ケースに対して、ゲルファンド＝シロフ空間の構造定理を一様に証明可能か？
• RQ2 すべての連続線形作用素が、より大きなゲルファンド＝シロフ空間に属する一意な核から生じるという核定理が、ゲルファンド＝シロフ空間間でも成り立つか？
• RQ3 ヘイゼンベルク群の表現およびウェイ変換は、ゲヴレー列ではなく一般の列 $ \{M_p\} $ によって生成されるゲルファンド＝シロフ空間へ拡張可能か？
• RQ4 調和振動子の固有関数は、ゲルファンド＝シロフ空間の双対空間に属する分布を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 非自明性条件 (M.3)" および (M.3)"’ は、これらの空間の構造および量子場理論への適用性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 任意の分布 $ T \in {\mathcal{S}}^{\{M_p\}}' $ は、ある $ \mu > 0 $ および有界連続関数 $ f $ を用いて、$ T = \sum_{\beta=0}^{\infty} \frac{\mu^{2\beta}}{M_{2\beta}} \frac{1}{2^\beta} \left(-\frac{d^2}{dx^2} + x^2 - 1\right)^\beta f $ と表現可能であり、構造定理が証明される。
• 任意の連続線形写像 $ \mathcal{K} $ が $ {\mathcal{S}}^{\{M_p\}}({\mathbb{R}}^l)_x $ から $ {\mathcal{S}}^{\{M_p\}}'({\mathbb{R}}^s)_y $ へ写されるとき、一意な核 $ K \in {\mathcal{S}}^{\{M_p\}}'({\mathbb{R}}^{l+s})_{x,y} $ を用いて表現可能であり、核定理が確認される。
• ゲルファンド＝シロフ空間 $ {\mathcal{S}}^{\{M_p\}} $ および $ {\mathcal{S}}^{(M_p)} $ は、古典的空間 $ {\mathcal{S}}^\alpha_\alpha $、$ \mathcal{F} $、$ \mathcal{G} $、ピリポビッチ空間を含み、フーリエ変換および微分の下で閉じている。
• $ {\mathcal{S}}^{\{p!\}} $ は、フーリエ超関数のテスト空間と同型であり、基本的長さを伴う量子場理論に適している。
• 条件 (M.3)’ は非準解析性の必要十分条件である。これを満たさない場合、空間は超関数からなるが、緩やかな超関数ではない。
• 最小の非自明なゲルファンド＝シロフ空間は $ {\mathcal{S}}^{1/2}_{1/2} $ であり、最小の非自明なピリポビッチ空間 $ \sum_{\alpha}^{\alpha} $ は $ \alpha = 1/2 $ のとき存在しないが、$ \alpha > 1/2 $ のときには存在する。