[論文レビュー] General and Stronger Uncertainty Relation

Vishnu M. Bannur|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Numerical methods in inverse problems被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、自由パラメータ α を用いて、マコネとパティのより強い不確定性関係を一般化し、分散に基づく不等式の無限族を導出する。α について最小化することで、標準的なハイゼンベルク＝ロバートソンおよびシュレーディンガーの関係が極限状態で回復され、かつ標準的な関係が失敗する場合でさえも、非自明な下界を一貫して得られる唯一の最適不等式を特定する。

ABSTRACT

Recently, Maccone and Pati [Phys. Rev. Lett. {\bf 113}, 260401 (2014)] derived few inequalities among variances of incompatible operators which they called stronger uncertainty relations, stronger than Heisenberg-Robertson or Schrodinger uncertainty relations. Here we generalize their study to get infinite number of such inequalities and propose that only one of them may be the correct uncertainty relation between incompatible operators. We get back well known uncertainty relations of Heisenberg-Robertson and Schrodinger under certain limits. We also reexamine the conclusions of Maccone and Pati and comment on their work.

研究の動機と目的

• 標準的な不確定性関係には、特定の状態において非可換な観測量に対して、自明（ゼロ）の下界を与えるという限界があることに対処する。
• マコネとパティのより強い不確定性関係を、自由パラメータ α を用いて無限個の不等式の族に一般化する。
• α について最小化することで、無限族の中から唯一の最適不等式を同定し、可能な限り鋭い下界を保証する。
• 導出された関係が、適切な極限においてハイゼンベルク＝ロバートソンおよびシュレーディンガーの不確定性関係に還元されることを示す。
• スピン-1系のような具体的な例を通じて、導出された関係の非自明性と強度を検証する。

提案手法

• 実数パラメータ α を用いて、|ϕ⟩ = |ψ_A⟩ + iα|ψ_B⟩ という複素線形結合を導入する。ここで |ψ_A⟩ および |ψ_B⟩ は、演算子 A および B の期待値からのずれを表す。
• |ϕ⟩ と、|ψ⟩ に直交する任意の正規化状態 |ψ^⊥⟩ に対してコーシー＝シュワルツの不等式を適用し、α を含む複素不等式を得る。
• 得られた不等式を実部と虚部に分離し、α に依存する一般不確定性関係を導出する。形式は [ΔA² - |⟨ψ^⊥|A|ψ⟩|²] + α²[ΔB² - |⟨ψ^⊥|B|ψ⟩|²] + iα[⋯] ≥ 0 である。
• 得られた式を α について最小化し、最も鋭い下界をもたらす最適な α を特定する。これにより、真のより強い不確定性関係を定義する特定の α が得られる。
• 最終的な不等式を (ΔA² - |⟨ψ^⊥|A|ψ⟩|²)(ΔB² - |⟨ψ^⊥|B|ψ⟩|²) ≥ ¼|⟨[A,B]⟩ - [⋯]|² の形に導出する。これは極限において既知の関係に還元される。
• 具体的な例（|ψ⟩ = |0⟩ および |ψ^⊥⟩ = cosθ|+⟩ + sinθ|−⟩ を用いたスピン-1系など）を用いて結果を検証し、導出された関係が非自明な下界を与えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マコネとパティのより強い不確定性関係は、特定の不等式を超えて、無限個の不等式の族に一般化可能か？
• RQ2 無限族の中には一意の最適不確定性関係が存在するか？もしあるならば、どのように同定できるか？
• RQ3 最適な関係は、適切な極限において、標準的なハイゼンベルク＝ロバートソンおよびシュレーディンガーの不確定性関係に還元されるか？
• RQ4 標準的な不確定性関係が自明（ゼロ）の下界を与える場合でも、導出された関係が非自明な下界をもたらすか？
• RQ5 直交状態 |ψ^⊥⟩ の選択およびパラメータ α の選択が、不確定性下界の強度と有効性にどのように影響するか？

主な発見

• 自由パラメータ α を用いたマコネ＝パティのアプローチの一般化により、無限個の不確定性不等式の族を導出しており、それらの関係が特殊ケースであることを示している。
• α についての最小化により、真のより強い不確定性関係が特定され、非自明な下界を最も鋭く与える唯一の最適不等式が得られる。
• 状態 |ψ⟩ が A もしくは B の固有状態である極限において、最適な関係はハイゼンベルク＝ロバートソンおよびシュレーディンガーの不確定性関係に還元される。
• |ψ⟩ = |0⟩ および |ψ^⊥⟩ = cosθ|+⟩ + sinθ|−⟩ を用いたスピン-1系では、導出された関係が非自明な下界 2ℏ²cos²θ を与えるが、標準的な HRS 関係では自明なゼロの下界となる。
• |ψ^⊥⟩ や α の選択に関わらず、不等式は非自明で一貫性を保ち、特定のスピン状態では α = ±1 のとき等号が成立する。
• この方法により、導出された関係がマコネとパティの元の関係よりも強いことが確認され、状態がどちらの観測量の固有状態でもない限り、常に非自明な下界を提供する。