[論文レビュー] General approximation method for the distribution of Markov processes conditioned not to be killed

Denis Villemonais|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用数 44

ひとこと要約

本稿では、無限に長く生存することが保証される強マルコフ過程の分布を近似する一般化された手法を提案する。この手法は、再生を伴うフレミング＝ビオット型粒子系を用い、弱い条件下でも収束を保証する。再生の発散が確実に回避され、生存確率が正であることが条件であり、近似の収束速度についても定量的な評価が与えられる。

ABSTRACT

We consider a strong Markov process with killing and prove an approximation method for the distribution of the process conditioned not to be killed when it is observed. The method is based on a Fleming-Viot type particle system with rebirths, whose particles evolve as independent copies of the original strong Markov process and jump onto each others instead of being killed. Our only assumption is that the number of rebirths of the Fleming-Viot type system doesn't explode in finite time almost surely and that the survival probability of the original process remains positive in finite time. The approximation method generalizes previous results and comes with a speed of convergence. A criterion for the non-explosion of the number of rebirths is also provided for general systems of time and environment dependent diffusion particles. This includes, but is not limited to, the case of the Fleming-Viot type system of the approximation method. The proof of the non-explosion criterion uses an original non-attainability of $(0,0)$ result for pair of non-negative semi-martingales with positive jumps.

研究の動機と目的

• 生存確率が非常に低い稀な生存事象が発生する状況で、ナイーブなモンテカルロ法が失敗する場合に、殺滅されない条件付きのマルコフ過程の分布を近似する一般化された手法を開発すること。
• 従来のフレミング＝ビオット粒子系に関する結果を拡張し、仮定を緩和し、より広いクラスの過程に適用可能な手法を提供すること。
• 粒子系による条件付き分布の近似の収束速度を確立すること。
• 粒子系における再生回数が有限時間内に発散しないことを保証する十分条件を導出すること。これは、本手法の有効性に不可欠である。

提案手法

• 本手法は、$N \geq 2$ 個の粒子からなるフレミング＝ビオット型粒子系を用い、各粒子は殺滅付きの元のマルコフ過程に従って独立に時間発展するが、1つの粒子が殺滅された時点で停止する。
• 殺滅が発生した場合、他の粒子が同時にジャンプしない限り、死亡した粒子は一様にランダムに選ばれた生存中の粒子の位置に即座に再生され、活性粒子数が維持される。
• システムは再生の逐次的進行によって定義され、複数の粒子が同時に殺滅されたりジャンプしたりする場合には失敗する。
• 再び再生が発生しないこと（発散しないこと）と、有限時間内に正の生存確率があることを要件とする仮説 A(N) の下で、粒子系の経験測度が条件付き分布に収束することが示される。
• 主要な技術的道具は、正のジャンプを伴う非負の局所 martingale の対に対する到達不能性に関する結果であり、発散の非発生を保証する証明に用いられる。
• 収束の証明には、経験測度の対数と局所時間項を含む変換された過程に対して、リャプノフ型関数と伊藤の公式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、殺滅されない条件付きのマルコフ過程の分布を、再生を伴う粒子系によって近似できるか？
• RQ2 粒子系の経験測度が真の条件付き分布に収束する速度は何か？
• RQ3 フレミング＝ビオット型システムにおける再生回数が有限時間内に有限に留まるのはいつか？ これはシステムの定義可能性に不可欠である。
• RQ4 局所 martingale の対に対する到達不能性に関する結果を、時間および環境に依存する拡散型粒子系の発散の非発生を保証する基準にどう応用できるか？

主な発見

• 仮説 A(N) の下で、近似手法は、再生の発散が確実に回避され、有限時間内に正の生存確率があるという条件下で、殺滅されない条件付きのマルコフ過程の真の分布に収束する。
• 有限時間内に正のモーメント条件が成り立つ場合、収束誤差が局所時間項と時間の和に比例する定数倍で抑えられ、定量的な収束速度が確立される。
• 一般の時間および環境に依存する拡散型粒子系（フレミング＝ビオット系を含む）に対して、再生の発散が起こらないための十分条件が導出された。
• 発散の非発生基準は、正のジャンプを伴う非負の局所 martingale の対に対する新規の到達不能性結果に依存しており、この結果により、過程が有限時間内に原点に到達しないことが保証される。
• 本手法は、ハードキリングおよびソフトキリングの両方を含む、より広いクラスの殺滅付きマルコフ過程に一般化可能である。
• 収束の証明は、リャプノフ関数の議論と停止時刻の制御を用いて、近似過程の発散時刻を制御することで完了される。